Tilnærming av løsninger

[stensrud]

Heisann, har en oppgave her med et par unøyaktige formuleringer, og jeg lurer på om noen kan gi meg en kort tilbakemelding på løsningen min ettersom jeg ikke har fasit.

Let $M$ be a large real number. Explain briefly why there must be exactly one root $w$ of the equation $Mx=e^x$ with $w>1$. Why is $\log M$ a reasonable approximation to $w?$ Write $w=\log M+y$. Can you give an approximation to $y$, and hence improve on $\log M$ as an approximation to $w?$

Første del er grei nok, men hvordan viser jeg at $\log M$ er en rimelig tilnærming til $w?$ Prøver å sette inn dette og se hva som skjer, men uansett hva jeg gjør så klarer jeg ikke å overbevise meg selv om at $\log M$ faktisk er en god tilnærming. Hvis man setter inn $w=\log M$ så vil $\lim_{M\to\infty} LHS-RHS=\infty$ (med mindre jeg er helt på jordet), men jeg håpet jo på noe i motsatt retning

Siste del går bedre: vi setter $x=\log M +y$:
\[ M(\log M+y)=e^{\log M+y}\iff \log M+y=e^y\iff y=\log(\log M+y)\approx \log(\log M). \]
Dette holder siden $y < \log M$ og
\[ \lim_{M\to \infty} \frac{\log(2\log M)}{\log(\log M)}=1. \]
En bedre tilnærming for $w$ er derfor $\log M + \log(\log M)$, og i lys av dette så virker jo $w\approx \log M$ ikke så altfor ille.

[Gustav]

Why is $\log M$ a reasonable approximation to $w?$

Likningen er ekvivalent med
$x-\log x=\log M$

I teksten står det at rota w>1, så det innbyder til å foreta en Taylorutvikling av log x om x=1.

Nullte ordens approksimasjon av $\log x$ omkring punktet x=1 er 0, dermed blir venstresida bare x, og en tilnærmet løsning blir $x=\log M$.

[Gustav]

Siste del går bedre: vi setter $x=\log M +y$:
\[ M(\log M+y)=e^{\log M+y}\iff \log M+y=e^y\iff y=\log(\log M+y)\approx \log(\log M). \]

Ser rett ut dette. Dette er jo essensielt taylorutviklinga til log(1+x) om x=0 til nullte orden.

[Janhaa]

Heisann, har en oppgave her med et par unøyaktige formuleringer, og jeg lurer på om noen kan gi meg en kort tilbakemelding på løsningen min ettersom jeg ikke har fasit.

Let $M$ be a large real number. Explain briefly why there must be exactly one root $w$ of the equation $Mx=e^x$ with $w>1$. Why is $\log M$ a reasonable approximation to $w?$ Write $w=\log M+y$. Can you give an approximation to $y$, and hence improve on $\log M$ as an approximation to $w?$

Er bare litt nysgjerrig! Hvilke type matematikk-kurs er dette?
Reell analyse?

[stensrud]

Takk Plutarco! Er ikke kjent med taylorrekker enda, så skal sjekke det ut.

Er bare litt nysgjerrig! Hvilke type matematikk-kurs er dette?
Reell analyse?

Det er fra en opptaksprøve til Cambridge, gitt før intervjuene. Skal kunne løses med matte fra tilsvarende vgs i Storbritannia.