Uendelig kvadratrot

[Markus]

Fra en oppgave i Abelkonkurransen;

Hva er verdien av [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}[/tex]?

Jeg har prøvd å skrive om uttrykket algebraisk, men kommer ingen vei. Fasiten sier at hvis [tex]x[/tex] er verdien av uttrykket, er [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex]. Når man først kommer hit er resten enkelt, men det er det å komme hit jeg sliter med. Hvordan vet man at [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex], gitt at [tex]x[/tex] er verdien man leter etter?

På forhånd, tusen takk.

[DennisChristensen]

Fra en oppgave i Abelkonkurransen;

Hva er verdien av [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}[/tex]?

Jeg har prøvd å skrive om uttrykket algebraisk, men kommer ingen vei. Fasiten sier at hvis [tex]x[/tex] er verdien av uttrykket, er [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex]. Når man først kommer hit er resten enkelt, men det er det å komme hit jeg sliter med. Hvordan vet man at [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex], gitt at [tex]x[/tex] er verdien man leter etter?

På forhånd, tusen takk.

La $x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}$. Da har vi at $$x^2 = \left(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}\right)^2 = 6 + \sqrt{6+\sqrt{6+\dots}} = 6 + x.$$

[Markus]

Fra en oppgave i Abelkonkurransen;

Hva er verdien av [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}[/tex]?

Jeg har prøvd å skrive om uttrykket algebraisk, men kommer ingen vei. Fasiten sier at hvis [tex]x[/tex] er verdien av uttrykket, er [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex]. Når man først kommer hit er resten enkelt, men det er det å komme hit jeg sliter med. Hvordan vet man at [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex], gitt at [tex]x[/tex] er verdien man leter etter?

På forhånd, tusen takk.

La $x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}$. Da har vi at $$x^2 = \left(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}\right)^2 = 6 + \sqrt{6+\sqrt{6+\dots}} = 6 + x.$$

Da ble det med en gang mye mer forståelig. Tusen takk for hjelpen.

[Kay]

Fra en oppgave i Abelkonkurransen;

Hva er verdien av [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}[/tex]?

Jeg har prøvd å skrive om uttrykket algebraisk, men kommer ingen vei. Fasiten sier at hvis [tex]x[/tex] er verdien av uttrykket, er [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex]. Når man først kommer hit er resten enkelt, men det er det å komme hit jeg sliter med. Hvordan vet man at [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex], gitt at [tex]x[/tex] er verdien man leter etter?

På forhånd, tusen takk.

La $x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}$. Da har vi at $$x^2 = \left(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}\right)^2 = 6 + \sqrt{6+\sqrt{6+\dots}} = 6 + x.$$

Da ble det med en gang mye mer forståelig. Tusen takk for hjelpen.

En annen gøy oppfølger med uendelige røtter, er jo at hvis:

[tex]y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots}}}[/tex]

finn [tex]\frac{dy}{dx}[/tex]

[Markus]

En annen gøy oppfølger med uendelige røtter, er jo at hvis:

[tex]y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots}}}[/tex]

finn [tex]\frac{dy}{dx}[/tex]

Mulig jeg er på villspor her, men gjør et forsøk allikevel.

Vi har at [tex]y=\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + ...}}}[/tex]

Dermed vil [tex]y^2=x+y[/tex]

Vi har da at [tex]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}y^2 -\frac{d}{dx}x[/tex]

[tex][tex][/tex]\frac{dy}{dx} = [tex]\frac{d}{dx}y^2 - 1[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = -1[/tex], men dette kan åpenbart ikke stemme hvis [tex]\frac{d}{dx}y^2 = 0[/tex], må jo også[tex]\frac{dy}{dx} = 0[/tex].

Jeg sitter fast her, og prøver å se andre måter å betrakte en slik oppgave på, noe jeg ikke har lyktes med enda. Jeg får tenke litt mer, men setter gjerne pris på små hint.

[Kay]

En annen gøy oppfølger med uendelige røtter, er jo at hvis:

[tex]y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots}}}[/tex]

finn [tex]\frac{dy}{dx}[/tex]

Mulig jeg er på villspor her, men gjør et forsøk allikevel.

Vi har at [tex]y=\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + ...}}}[/tex]

Dermed vil [tex]y^2=x+y[/tex]

Vi har da at [tex]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}y^2 -\frac{d}{dx}x[/tex]

[tex][tex][/tex]\frac{dy}{dx} = [tex]\frac{d}{dx}y^2 - 1[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = -1[/tex], men dette kan åpenbart ikke stemme hvis [tex]\frac{d}{dx}y^2 = 0[/tex], må jo også[tex]\frac{dy}{dx} = 0[/tex].

Jeg sitter fast her, og prøver å se andre måter å betrakte en slik oppgave på, noe jeg ikke har lyktes med enda. Jeg får tenke litt mer, men setter gjerne pris på små hint.

Kan bruke noen andre bokstaver bare for ordens skyld

Hint: la [tex]x=\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\dots}}}[/tex], da vil [tex]x^2=n+x\Leftrightarrow x^2-x-n=0[/tex]

[Aleks855]

En annen gøy oppfølger med uendelige røtter, er jo at hvis:

[tex]y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots}}}[/tex]

finn [tex]\frac{dy}{dx}[/tex]

Mulig jeg er på villspor her, men gjør et forsøk allikevel.

Vi har at [tex]y=\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + ...}}}[/tex]

Dermed vil [tex]y^2=x+y[/tex]

Vi har da at [tex]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}y^2 -\frac{d}{dx}x[/tex]

[tex][tex][/tex]\frac{dy}{dx} = [tex]\frac{d}{dx}y^2 - 1[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = -1[/tex], men dette kan åpenbart ikke stemme hvis [tex]\frac{d}{dx}y^2 = 0[/tex], må jo også[tex]\frac{dy}{dx} = 0[/tex].

Jeg sitter fast her, og prøver å se andre måter å betrakte en slik oppgave på, noe jeg ikke har lyktes med enda. Jeg får tenke litt mer, men setter gjerne pris på små hint.

Hint: $\frac{d}{dx}f(y) = f'(y) \cdot y'(x)$ ved kjerneregel.