Fra en oppgave i Abelkonkurransen;
Hva er verdien av [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}[/tex]?
Jeg har prøvd å skrive om uttrykket algebraisk, men kommer ingen vei. Fasiten sier at hvis [tex]x[/tex] er verdien av uttrykket, er [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex]. Når man først kommer hit er resten enkelt, men det er det å komme hit jeg sliter med. Hvordan vet man at [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex], gitt at [tex]x[/tex] er verdien man leter etter?
På forhånd, tusen takk.
Uendelig kvadratrot
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
La $x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}$. Da har vi at $$x^2 = \left(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}\right)^2 = 6 + \sqrt{6+\sqrt{6+\dots}} = 6 + x.$$mattemarkus skrev:Fra en oppgave i Abelkonkurransen;
Hva er verdien av [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}[/tex]?
Jeg har prøvd å skrive om uttrykket algebraisk, men kommer ingen vei. Fasiten sier at hvis [tex]x[/tex] er verdien av uttrykket, er [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex]. Når man først kommer hit er resten enkelt, men det er det å komme hit jeg sliter med. Hvordan vet man at [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex], gitt at [tex]x[/tex] er verdien man leter etter?
På forhånd, tusen takk.
Da ble det med en gang mye mer forståelig. Tusen takk for hjelpen.DennisChristensen skrev:La $x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}$. Da har vi at $$x^2 = \left(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}\right)^2 = 6 + \sqrt{6+\sqrt{6+\dots}} = 6 + x.$$mattemarkus skrev:Fra en oppgave i Abelkonkurransen;
Hva er verdien av [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}[/tex]?
Jeg har prøvd å skrive om uttrykket algebraisk, men kommer ingen vei. Fasiten sier at hvis [tex]x[/tex] er verdien av uttrykket, er [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex]. Når man først kommer hit er resten enkelt, men det er det å komme hit jeg sliter med. Hvordan vet man at [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex], gitt at [tex]x[/tex] er verdien man leter etter?
På forhånd, tusen takk.
mattemarkus skrev:Da ble det med en gang mye mer forståelig. Tusen takk for hjelpen.DennisChristensen skrev:La $x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}$. Da har vi at $$x^2 = \left(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}\right)^2 = 6 + \sqrt{6+\sqrt{6+\dots}} = 6 + x.$$mattemarkus skrev:Fra en oppgave i Abelkonkurransen;
Hva er verdien av [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}[/tex]?
Jeg har prøvd å skrive om uttrykket algebraisk, men kommer ingen vei. Fasiten sier at hvis [tex]x[/tex] er verdien av uttrykket, er [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex]. Når man først kommer hit er resten enkelt, men det er det å komme hit jeg sliter med. Hvordan vet man at [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex], gitt at [tex]x[/tex] er verdien man leter etter?
På forhånd, tusen takk.
En annen gøy oppfølger med uendelige røtter, er jo at hvis:
[tex]y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots}}}[/tex]
finn [tex]\frac{dy}{dx}[/tex]
Mulig jeg er på villspor her, men gjør et forsøk allikevel.Kay skrev:
En annen gøy oppfølger med uendelige røtter, er jo at hvis:
[tex]y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots}}}[/tex]
finn [tex]\frac{dy}{dx}[/tex]
Vi har at [tex]y=\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + ...}}}[/tex]
Dermed vil [tex]y^2=x+y[/tex]
Vi har da at [tex]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}y^2 -\frac{d}{dx}x[/tex]
[tex][tex][/tex]\frac{dy}{dx} = [tex]\frac{d}{dx}y^2 - 1[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx} = -1[/tex], men dette kan åpenbart ikke stemme hvis [tex]\frac{d}{dx}y^2 = 0[/tex], må jo også[tex]\frac{dy}{dx} = 0[/tex].
Jeg sitter fast her, og prøver å se andre måter å betrakte en slik oppgave på, noe jeg ikke har lyktes med enda. Jeg får tenke litt mer, men setter gjerne pris på små hint.
Kan bruke noen andre bokstaver bare for ordens skyldmattemarkus skrev:Mulig jeg er på villspor her, men gjør et forsøk allikevel.Kay skrev:
En annen gøy oppfølger med uendelige røtter, er jo at hvis:
[tex]y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots}}}[/tex]
finn [tex]\frac{dy}{dx}[/tex]
Vi har at [tex]y=\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + ...}}}[/tex]
Dermed vil [tex]y^2=x+y[/tex]
Vi har da at [tex]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}y^2 -\frac{d}{dx}x[/tex]
[tex][tex][/tex]\frac{dy}{dx} = [tex]\frac{d}{dx}y^2 - 1[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx} = -1[/tex], men dette kan åpenbart ikke stemme hvis [tex]\frac{d}{dx}y^2 = 0[/tex], må jo også[tex]\frac{dy}{dx} = 0[/tex].
Jeg sitter fast her, og prøver å se andre måter å betrakte en slik oppgave på, noe jeg ikke har lyktes med enda. Jeg får tenke litt mer, men setter gjerne pris på små hint.
Hint: la [tex]x=\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\dots}}}[/tex], da vil [tex]x^2=n+x\Leftrightarrow x^2-x-n=0[/tex]
Hint: $\frac{d}{dx}f(y) = f'(y) \cdot y'(x)$ ved kjerneregel.mattemarkus skrev:Mulig jeg er på villspor her, men gjør et forsøk allikevel.Kay skrev:
En annen gøy oppfølger med uendelige røtter, er jo at hvis:
[tex]y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots}}}[/tex]
finn [tex]\frac{dy}{dx}[/tex]
Vi har at [tex]y=\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + ...}}}[/tex]
Dermed vil [tex]y^2=x+y[/tex]
Vi har da at [tex]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}y^2 -\frac{d}{dx}x[/tex]
[tex][tex][/tex]\frac{dy}{dx} = [tex]\frac{d}{dx}y^2 - 1[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx} = -1[/tex], men dette kan åpenbart ikke stemme hvis [tex]\frac{d}{dx}y^2 = 0[/tex], må jo også[tex]\frac{dy}{dx} = 0[/tex].
Jeg sitter fast her, og prøver å se andre måter å betrakte en slik oppgave på, noe jeg ikke har lyktes med enda. Jeg får tenke litt mer, men setter gjerne pris på små hint.