Deriverbar

[Derivert]

Sitter med en oppgave: Hvor er |x^2+3x+2| ikke deriverbar?

Har tegnet grafen i geogebra bare for å se hvordan den ser ut. Ser at i nullpunktene til grafen er det en ''knekk'' og dermed vil ikke grafen være deriverbar der. Men hvordan kan jeg vise dette på et matematisk måte, kunne trengt en god forklaring Takker på forhånd!

[Aleks855]

1: Finn funksjonsuttrykket for $f'(x)$

2: Beskriv hva som skjer ved $x=-2$ og $x=-1$.

[Derivert]

1: Finn funksjonsuttrykket for $f'(x)$

2: Beskriv hva som skjer ved $x=-2$ og $x=-1$.

Kan selvfølgelig derivere uttrykket som er ganske mye jobb og dermed se at for x=-2 og x=-1 så er ikke den deriverte definert (dvs. jeg får null i nevneren). Men er det ikke en måte jeg kan vise dette enklere på? Da tenker jeg på dette med grenseverdier til den deriverte. (noe jeg sliter litt med å forstå). Beklager om dette høres litt dumt ut.

[DennisChristensen]

Sitter med en oppgave: Hvor er |x^2+3x+2| ikke deriverbar?

Har tegnet grafen i geogebra bare for å se hvordan den ser ut. Ser at i nullpunktene til grafen er det en ''knekk'' og dermed vil ikke grafen være deriverbar der. Men hvordan kan jeg vise dette på et matematisk måte, kunne trengt en god forklaring Takker på forhånd!

Først ser vi at når $x\in\mathbb{R}\setminus [-2,-1]$ har vi at $f(x) = x^2 + 3x + 2$, så her er $f$ deriverbar. Når $x\in(-2,-1)$ har vi at $f(x) = -x^2 - 3x - 2,$ så deriverbar her også.

Derimot har vi at
$$\lim_{x\to -2^+} \frac{f(x) - f(-2)}{x - (-2)} = \lim_{x\to -2^+}\frac{x^2 + 3x + 2 - 0}{x+2} = \lim_{x\to -2^+}\frac{(x+2)(x+1)}{x+2} = \lim_{x\to -2^+}(x+1) = -1,$$
mens
$$\lim_{x\to -2^-}\frac{f(x) - f(-2)}{x-(-2)} = \lim_{x\to -2^-}\frac{-x^2 - 3x - 2}{x+2} = \lim_{x\to -2^-}\frac{-(x+2)(x+1)}{x+2} = -\lim_{x\to -2^-}(x+1) = 1,$$
så $\lim_{x\to -2}\frac{f(x) - f(-2)}{x-(-2)}$ er ikke definert, så $f$ er ikke deriverbar for $x=-2$.

Samme argument viser at $f$ ikke er deriverbar for $x=-1$.

[Derivert]

Sitter med en oppgave: Hvor er |x^2+3x+2| ikke deriverbar?

Har tegnet grafen i geogebra bare for å se hvordan den ser ut. Ser at i nullpunktene til grafen er det en ''knekk'' og dermed vil ikke grafen være deriverbar der. Men hvordan kan jeg vise dette på et matematisk måte, kunne trengt en god forklaring Takker på forhånd!

Først ser vi at når $x\in\mathbb{R}\setminus [-2,-1]$ har vi at $f(x) = x^2 + 3x + 2$, så her er $f$ deriverbar. Når $x\in(-2,-1)$ har vi at $f(x) = -x^2 - 3x - 2,$ så deriverbar her også.

Derimot har vi at
$$\lim_{x\to -2^+} \frac{f(x) - f(-2)}{x - (-2)} = \lim_{x\to -2^+}\frac{x^2 + 3x + 2 - 0}{x+2} = \lim_{x\to -2^+}\frac{(x+2)(x+1)}{x+2} = \lim_{x\to -2^+}(x+1) = -1,$$
mens
$$\lim_{x\to -2^-}\frac{f(x) - f(-2)}{x-(-2)} = \lim_{x\to -2^-}\frac{-x^2 - 3x - 2}{x+2} = \lim_{x\to -2^-}\frac{-(x+2)(x+1)}{x+2} = -\lim_{x\to -2^-}(x+1) = 1,$$
så $\lim_{x\to -2}\frac{f(x) - f(-2)}{x-(-2)}$ er ikke definert, så $f$ er ikke deriverbar for $x=-2$.

Samme argument viser at $f$ ikke er deriverbar for $x=-1$.

Tusen takk! Altså at hvis den deriverte til grafen ikke nærmer seg samme funksjonsverdi i punktene x=-1 og x=-2 så eksisterer ikke den deriverte i det punktet?

[DennisChristensen]

Tusen takk! Altså at hvis den deriverte til grafen ikke nærmer seg samme funksjonsverdi i punktene x=-1 og x=-2 så eksisterer ikke den deriverte i det punktet?

Du er nødt til å jobbe utifra definisjonene. En funksjon $f$ er deriverbar i et punkt $x_0$ hvis (og bare hvis) grenseverdien $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$ eksisterer.

[Guest]

Tusen takk! Altså at hvis den deriverte til grafen ikke nærmer seg samme funksjonsverdi i punktene x=-1 og x=-2 så eksisterer ikke den deriverte i det punktet?

Du er nødt til å jobbe utifra definisjonene. En funksjon $f$ er deriverbar i et punkt $x_0$ hvis (og bare hvis) grenseverdien $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$ eksisterer.

Denne grenseverdien, er dette egt. definisjonen av den deriverte?

[tex]f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}[/tex]

[DennisChristensen]

Tusen takk! Altså at hvis den deriverte til grafen ikke nærmer seg samme funksjonsverdi i punktene x=-1 og x=-2 så eksisterer ikke den deriverte i det punktet?

Du er nødt til å jobbe utifra definisjonene. En funksjon $f$ er deriverbar i et punkt $x_0$ hvis (og bare hvis) grenseverdien $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$ eksisterer.

Denne grenseverdien, er dette egt. definisjonen av den deriverte?

[tex]f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}[/tex]

Det er samme grenseverdi, ja, bare med litt annen notasjon. Skriver vi $x = x_0 + \Delta x$ ser vi at
$$f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{(x_0 + \Delta x) \to x_0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{(x_0+\Delta x) - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$$