(a) Vis at produktet av to påfølgende positive heltall aldri er et kvadrattall.
(b) Vis at produktet av tre påfølgende positive heltall aldri er et kvadrattall.
Tallteori
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
vises med dobbel-ulikheten under:plutarco wrote:(a) Vis at produktet av to påfølgende positive heltall aldri er et kvadrattall. .
[tex]n^2< n(n+1)< (n+1)^2[/tex]
da sees lett at ingen positive heltall er mellom n og n+1.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Ja, nettoppJanhaa wrote:vises med dobbel-ulikheten under:plutarco wrote:(a) Vis at produktet av to påfølgende positive heltall aldri er et kvadrattall. .
[tex]n^2< n(n+1)< (n+1)^2[/tex]
da sees lett at ingen positive heltall er mellom n og n+1.
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
(b) Anta at det finnes tre påfølgende heltallene er $m-1$, $m$ og $m+1$ slik at produktet av disse er et kvadrattall; dvs. det finnes et positivt heltall $n$ slik at
$(1) \;\; (m - 1)m(m + 1) = n^2$.
Nå finnes det to positive heltall $a$ og $b$ slik at $a$ er kvadratfri og $m = ab^2$. Likning (1) gir $m \mid n^2$, i.e. $ab^2 \mid n^2$. Dette medfører at $ab \mid n$, som betyr at det finnes et positivt heltall $c$ slik at $n = abc$, som innsatt i likning (1) resulterer i at
$(2) \;\; a^2b^4 - 1 = ac^2$.
Følgelig må $a \mid 1$ iht. likning (3), som impliserer at $a=1$, som innsatt i likning (2) gir
$(3) \;\; (b^2 - c)(b^2 + c) = 1$.
Av likning (3) får vi at $b^2 - c = b^2 + c = 1$, i.e. $c=0$ og $n = abc = 0$. Av denne motsigelsen følger at likning (1) har ingen løsninger. q.e.d.
$(1) \;\; (m - 1)m(m + 1) = n^2$.
Nå finnes det to positive heltall $a$ og $b$ slik at $a$ er kvadratfri og $m = ab^2$. Likning (1) gir $m \mid n^2$, i.e. $ab^2 \mid n^2$. Dette medfører at $ab \mid n$, som betyr at det finnes et positivt heltall $c$ slik at $n = abc$, som innsatt i likning (1) resulterer i at
$(2) \;\; a^2b^4 - 1 = ac^2$.
Følgelig må $a \mid 1$ iht. likning (3), som impliserer at $a=1$, som innsatt i likning (2) gir
$(3) \;\; (b^2 - c)(b^2 + c) = 1$.
Av likning (3) får vi at $b^2 - c = b^2 + c = 1$, i.e. $c=0$ og $n = abc = 0$. Av denne motsigelsen følger at likning (1) har ingen løsninger. q.e.d.
Alternativt kan man skrive $(m-1)m(m+1)=m(m^2-1)=n^2$. Det er klart at $gcd(m,m^2-1)=1$, så både $m$ og $m^2-1$ må være kvadrattall. La $m^2-1=b^2$, som er ekvivalent med $m^2-b^2=(m-b)(m+b)=1$, så vi må ha at $m-b=m+b=\pm 1\Rightarrow b=0$ og $m=\pm 1$, men da vil det minste av de påfølgende heltallene være ikkepositivt, dermed har vi motsigelsen.
