Tallteori

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Tallteori

Innlegg Gustav » 15/09-2017 18:25

(a) Vis at produktet av to påfølgende positive heltall aldri er et kvadrattall.

(b) Vis at produktet av tre påfølgende positive heltall aldri er et kvadrattall.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4298
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Tallteori

Innlegg Janhaa » 15/09-2017 20:10

plutarco skrev:(a) Vis at produktet av to påfølgende positive heltall aldri er et kvadrattall. .

vises med dobbel-ulikheten under:

[tex]n^2< n(n+1)< (n+1)^2[/tex]

da sees lett at ingen positive heltall er mellom n og n+1.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7807
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Tallteori

Innlegg Gustav » 15/09-2017 22:48

Janhaa skrev:
plutarco skrev:(a) Vis at produktet av to påfølgende positive heltall aldri er et kvadrattall. .

vises med dobbel-ulikheten under:

[tex]n^2< n(n+1)< (n+1)^2[/tex]

da sees lett at ingen positive heltall er mellom n og n+1.


Ja, nettopp
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4298
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Tallteori

Innlegg Solar Plexsus » 27/09-2017 17:35

(b) Anta at det finnes tre påfølgende heltallene er $m-1$, $m$ og $m+1$ slik at produktet av disse er et kvadrattall; dvs. det finnes et positivt heltall $n$ slik at

$(1) \;\; (m - 1)m(m + 1) = n^2$.

Nå finnes det to positive heltall $a$ og $b$ slik at $a$ er kvadratfri og $m = ab^2$. Likning (1) gir $m \mid n^2$, i.e. $ab^2 \mid n^2$. Dette medfører at $ab \mid n$, som betyr at det finnes et positivt heltall $c$ slik at $n = abc$, som innsatt i likning (1) resulterer i at

$(2) \;\; a^2b^4 - 1 = ac^2$.

Følgelig må $a \mid 1$ iht. likning (3), som impliserer at $a=1$, som innsatt i likning (2) gir

$(3) \;\; (b^2 - c)(b^2 + c) = 1$.

Av likning (3) får vi at $b^2 - c = b^2 + c = 1$, i.e. $c=0$ og $n = abc = 0$. Av denne motsigelsen følger at likning (1) har ingen løsninger. q.e.d.
Solar Plexsus offline
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1667
Registrert: 03/10-2005 11:09

Re: Tallteori

Innlegg Gustav » 27/09-2017 19:16

Alternativt kan man skrive $(m-1)m(m+1)=m(m^2-1)=n^2$. Det er klart at $gcd(m,m^2-1)=1$, så både $m$ og $m^2-1$ må være kvadrattall. La $m^2-1=b^2$, som er ekvivalent med $m^2-b^2=(m-b)(m+b)=1$, så vi må ha at $m-b=m+b=\pm 1\Rightarrow b=0$ og $m=\pm 1$, men da vil det minste av de påfølgende heltallene være ikkepositivt, dermed har vi motsigelsen.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4298
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Tallteori

Innlegg stensrud » 27/09-2017 21:16

Alternativt så følger det av det mer generelle resultatet som er bevist her.
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: Tallteori

Innlegg Gustav » 30/09-2017 04:33

stensrud skrev:Alternativt så følger det av det mer generelle resultatet som er bevist her.


Bilde
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4298
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 16 gjester