Abelrelevante oppgaver, del 2

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Gustav » 31/10-2017 20:54

1. Finn alle tripler (x,y,z) slik at $x^2 + 2 y^2 + z^2=2xy+2yz$ Hint:
[+] Skjult tekst
Flytt alt over til venstre og skriv som en sum av kvadrater


2. Finn alle reelle tallpar (x,y) slik at $2x=x^2+y^2$ og $y=xy$ Hint:
[+] Skjult tekst
Legg to ganger ligning nr.2 til ligning nr.1 og bruk 1.kvadratsetning


3. Dersom

$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1$ og
$x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=2$

Bestem verdien av $5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5$

Hint:
[+] Skjult tekst
Sett $5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5=y$ og legg dette sammen med en av de to andre ligningene


4. Anta at $(x+2)^6 = a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ for alle $x$. Bestem tallverdien av $a_5+a_3+a_1$.

5. Finn alle tallpar $(a,b)$ av positive heltall slik at $ab+a+b=2016$.

6. Vi har tretti tall. Gjennomsnittet av disse er $10$. Dersom vi fjerner ti av tallene er gjennomsnittet av de gjenværende tjue tallene $9$. Hva er gjennomsnittet av de ti tallene som ble fjernet?

7. Anta at $p(x)$ er et polynom av grad 4 slik at $p(0)=1$ og $p(k)=k$ for $k=1,2,3,4$. Bestem $p(5)$. Hint:
[+] Skjult tekst
La $q(x)=p(x)-x$ og bruk faktorteoremet


8. Hvor mange 5 sifrede tall fins slik at sifrene er ordnet i stigende rekkefølge? (0 kan ikke være førstesiffer) Hint:
[+] Skjult tekst
Hvis fem sifre i tallet et kjent, hvor mange slike tall fins?


9. Finn alle funksjoner $f(x)$ slik at $xf(x-1)+(x-1)f(x)=x$ for alle reelle tall $x$. Hint:
[+] Skjult tekst
Ingen slike funksjoner fins. Finn et paradoks ved innsetting av passende verdier for x


10. Faktorisér $a^3+a^2b-ab^2-b^3$ Hint:
[+] Skjult tekst
Betrakt uttrykket som en polynom i $a$, og finn et nullpunkt
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4302
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Aleks855 » 31/10-2017 21:28

Prøver meg på 5.

Vi kan skrive likninga om til en funksjon som er lineær for en av variablene, eksempelvis $a$.

Vi får $a = \frac{2016-b}{b+1}$ som har de positive løsningene $(a, b) \in \{(2016, 0), \ \ (0, 2016)\}$. Mulig dette skal tolkes som "ingen løsning" gitt ordlyden i oppgaven.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5936
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Markus » 31/10-2017 21:29

plutarco skrev:4. Anta at $(x+2)^6 = a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ for alle $x$. Bestem tallverdien av $a_5+a_3+a_1$.


Ved binomialformelen har vi at

$\displaystyle (x+2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^k 2^{6-k}$

Av dette ser vi at den $k$-ende koeffisenten er gitt ved $a_k = \binom{6}{k} 2^{6-k}$

Da blir $a_5+a_3+a_1 = \binom{6}{5} 2^{6-5} + \binom{6}{3} 2^{6-3} + \binom{6}{1} 2^{6-1} = 6 \cdot 2^5 + 20 \cdot 2^3 + 6 \cdot 2^1 = 364$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Markus » 31/10-2017 23:58

plutarco skrev:6. Vi har tretti tall. Gjennomsnittet av disse er $10$. Dersom vi fjerner ti av tallene er gjennomsnittet av de gjenværende tjue tallene $9$. Hva er gjennomsnittet av de ti tallene som ble fjernet?

Vi kaller summen av de $30$ tallene for $S_{30}$. Vi har at $\frac{S_{30}}{30} = 10 \enspace \Rightarrow \enspace S_{30} = 300$
Vi kaller summen av de gjenværende $20$ tallene for $S_{20}$. Da har vi at $\frac{S_{20}}{20} = 9 \enspace \Rightarrow \enspace S_{20} = 180$.

Da må summen av de tallene som ble fjernet være: $S_{fjernet} = S_{30} - S_{20} = 300 - 180 = 120$

Og da må gjennomsnittet av disse tallene være $\frac{120}{10} = 12$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Gustav » 01/11-2017 02:00

Aleks855 skrev:Prøver meg på 5.

Vi kan skrive likninga om til en funksjon som er lineær for en av variablene, eksempelvis $a$.

Vi får $a = \frac{2016-b}{b+1}$ som har de positive løsningene $(a, b) \in \{(2016, 0), \ \ (0, 2016)\}$. Mulig dette skal tolkes som "ingen løsning" gitt ordlyden i oppgaven.


Stemmer det. Vi kan eventuelt skrive ligningen som $(a+1)(b+1)=2017$ og observere at $2017$ er primtall, mens hver av faktorene på venstresida er større enn 1, dermed er venstresida aldri prim, så det kan ikke finnes noen løsning.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4302
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Gustav » 01/11-2017 02:05

mattemarkus skrev:
plutarco skrev:4. Anta at $(x+2)^6 = a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ for alle $x$. Bestem tallverdien av $a_5+a_3+a_1$.


Ved binomialformelen har vi at

$\displaystyle (x+2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^k 2^{6-k}$

Av dette ser vi at den $k$-ende koeffisenten er gitt ved $a_k = \binom{6}{k} 2^{6-k}$

Da blir $a_5+a_3+a_1 = \binom{6}{5} 2^{6-5} + \binom{6}{3} 2^{6-3} + \binom{6}{1} 2^{6-1} = 6 \cdot 2^5 + 20 \cdot 2^3 + 6 \cdot 2^1 = 364$


Korrekt!

Alternativt kan vi først sette x=1 i ligningen. Det gir $3^6=a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$. Deretter sette $x=-1$, som gir $1=a_6-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$. Differansen mellom disse to gir at $3^6-1=2(a_5+a_3+a_1)$, så $a_5+a_3+a_1=\frac{3^6-1}{2}=364$.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4302
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Gustav » 01/11-2017 02:08

mattemarkus skrev:Vi kaller summen av de $30$ tallene for $S_{30}$. Vi har at $\frac{S_{30}}{30} = 10 \enspace \Rightarrow \enspace S_{30} = 300$
Vi kaller summen av de gjenværende $20$ tallene for $S_{20}$. Da har vi at $\frac{S_{20}}{20} = 9 \enspace \Rightarrow \enspace S_{20} = 180$.

Da må summen av de tallene som ble fjernet være: $S_{fjernet} = S_{30} - S_{20} = 300 - 180 = 120$

Og da må gjennomsnittet av disse tallene være $\frac{120}{10} = 12$


Supert!
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4302
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Aleks855 » 01/11-2017 09:09

plutarco skrev:
Aleks855 skrev:Prøver meg på 5.

Vi kan skrive likninga om til en funksjon som er lineær for en av variablene, eksempelvis $a$.

Vi får $a = \frac{2016-b}{b+1}$ som har de positive løsningene $(a, b) \in \{(2016, 0), \ \ (0, 2016)\}$. Mulig dette skal tolkes som "ingen løsning" gitt ordlyden i oppgaven.


Stemmer det. Vi kan eventuelt skrive ligningen som $(a+1)(b+1)=2017$ og observere at $2017$ er primtall, mens hver av faktorene på venstresida er større enn 1, dermed er venstresida aldri prim, så det kan ikke finnes noen løsning.


Det var mye penere. Jeg lurte på hvorfor det var en 2016-oppgave, og ikke en 2017-oppgave ja. :lol:
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5936
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Gustav » 01/11-2017 11:53

Hint til de uløste problemene er nå lagt til.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4302
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg OYV » 01/11-2017 14:44

Har et spørsmål til oppgave 7:

Har funnet p(x) = x + a*(x - 1)(x- 2)(x - 3)(x - 4)

Ut fra opplysningene i oppgaveteksta kan tallfaktoren a være et hvilket som helst tall, bare ikke lik null ( 0 ).

Det må da bety at p( 5 ) ikke er entydig bestemt , eller har jeg feiltolket problemet ?
OYV offline

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Gustav » 01/11-2017 16:49

Godt observert. Glemte tilleggsopplysningen at $p(0)=1$
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4302
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg OYV » 01/11-2017 17:05

Takk for tilbakemelding ! Da er p( 5 ) entydig bestemt ( a = [tex]\frac{1}{24}[/tex] ).
OYV offline

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Janhaa » 01/11-2017 17:11

plutarco skrev:9. Finn alle funksjoner $f(x)$ slik at $xf(x-1)+(x-1)f(x)=x$ for alle reelle tall $x$. Hint:
[+] Skjult tekst
Ingen slike funksjoner fins. Finn et paradoks ved innsetting av passende verdier for x


Gjorde oppg 9 i går, men glemte den av.
Fant for øvrig ut at:

[tex]x=0:[/tex]
gir
[tex]f(0)=0[/tex]
og
[tex]x=1[/tex]
gir
[tex]f(0)=1[/tex]

som blir motsigelse.

Ellers mener jeg at liknende funksjonalligninger ofte er på:
[tex]f(x)=1/x[/tex]
form?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7838
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Gustav » 01/11-2017 18:46

Riktig!
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4302
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Abelrelevante oppgaver, del 2

Innlegg Markus » 02/11-2017 22:02

plutarco skrev:1. Finn alle tripler (x,y,z) slik at $x^2 + 2 y^2 + z^2=2xy+2yz$


$x^2+2 y^2 +z^2=2xy+2yz$

$x^2+2y^2+z^2-2xy-2yz=0$

$x^2-2xy+y^2+z^2-2yz+y^2 = 0$

$(x-y)^2 + (z-y)^2 = 0$

Siden både $(x-y)^2$ og $(z-y)^2$ gir positive verdier, så lenge $x-y \neq 0$ og $z-y \neq 0$, er den eneste måten likningen kan være sann på hvis $x-y = 0$ og $z-y = 0$.

Det finnes uendelig mange tripler $(x,y,z)$ som oppfyller det kriteriet, og alle er på formen $(n,n,n)$, altså $x=y=z$.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Neste

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 6 gjester