Abelrelevante oppgaver, del 2

[Gustav]

1. Finn alle tripler (x,y,z) slik at $x^2 + 2 y^2 + z^2=2xy+2yz$ Hint:

[+] Skjult tekst

Flytt alt over til venstre og skriv som en sum av kvadrater

2. Finn alle reelle tallpar (x,y) slik at $2x=x^2+y^2$ og $y=xy$ Hint:

[+] Skjult tekst

Legg to ganger ligning nr.2 til ligning nr.1 og bruk 1.kvadratsetning

3. Dersom

$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1$ og
$x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=2$

Bestem verdien av $5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5$

Hint:

[+] Skjult tekst

Sett $5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5=y$ og legg dette sammen med en av de to andre ligningene

4. Anta at $(x+2)^6 = a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ for alle $x$. Bestem tallverdien av $a_5+a_3+a_1$.

5. Finn alle tallpar $(a,b)$ av positive heltall slik at $ab+a+b=2016$.

6. Vi har tretti tall. Gjennomsnittet av disse er $10$. Dersom vi fjerner ti av tallene er gjennomsnittet av de gjenværende tjue tallene $9$. Hva er gjennomsnittet av de ti tallene som ble fjernet?

7. Anta at $p(x)$ er et polynom av grad 4 slik at $p(0)=1$ og $p(k)=k$ for $k=1,2,3,4$. Bestem $p(5)$. Hint:

[+] Skjult tekst

La $q(x)=p(x)-x$ og bruk faktorteoremet

8. Hvor mange 5 sifrede tall fins slik at sifrene er ordnet i stigende rekkefølge? (0 kan ikke være førstesiffer) Hint:

[+] Skjult tekst

Hvis fem sifre i tallet et kjent, hvor mange slike tall fins?

9. Finn alle funksjoner $f(x)$ slik at $xf(x-1)+(x-1)f(x)=x$ for alle reelle tall $x$. Hint:

[+] Skjult tekst

Ingen slike funksjoner fins. Finn et paradoks ved innsetting av passende verdier for x

10. Faktorisér $a^3+a^2b-ab^2-b^3$ Hint:

[+] Skjult tekst

Betrakt uttrykket som en polynom i $a$, og finn et nullpunkt

[Aleks855]

Prøver meg på 5.

Vi kan skrive likninga om til en funksjon som er lineær for en av variablene, eksempelvis $a$.

Vi får $a = \frac{2016-b}{b+1}$ som har de positive løsningene $(a, b) \in \{(2016, 0), \ \ (0, 2016)\}$. Mulig dette skal tolkes som "ingen løsning" gitt ordlyden i oppgaven.

[Markus]

4. Anta at $(x+2)^6 = a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ for alle $x$. Bestem tallverdien av $a_5+a_3+a_1$.

Ved binomialformelen har vi at

$\displaystyle (x+2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^k 2^{6-k}$

Av dette ser vi at den $k$-ende koeffisenten er gitt ved $a_k = \binom{6}{k} 2^{6-k}$

Da blir $a_5+a_3+a_1 = \binom{6}{5} 2^{6-5} + \binom{6}{3} 2^{6-3} + \binom{6}{1} 2^{6-1} = 6 \cdot 2^5 + 20 \cdot 2^3 + 6 \cdot 2^1 = 364$

[Markus]

6. Vi har tretti tall. Gjennomsnittet av disse er $10$. Dersom vi fjerner ti av tallene er gjennomsnittet av de gjenværende tjue tallene $9$. Hva er gjennomsnittet av de ti tallene som ble fjernet?

Vi kaller summen av de $30$ tallene for $S_{30}$. Vi har at $\frac{S_{30}}{30} = 10 \enspace \Rightarrow \enspace S_{30} = 300$
Vi kaller summen av de gjenværende $20$ tallene for $S_{20}$. Da har vi at $\frac{S_{20}}{20} = 9 \enspace \Rightarrow \enspace S_{20} = 180$.

Da må summen av de tallene som ble fjernet være: $S_{fjernet} = S_{30} - S_{20} = 300 - 180 = 120$

Og da må gjennomsnittet av disse tallene være $\frac{120}{10} = 12$

[Gustav]

Prøver meg på 5.

Vi kan skrive likninga om til en funksjon som er lineær for en av variablene, eksempelvis $a$.

Vi får $a = \frac{2016-b}{b+1}$ som har de positive løsningene $(a, b) \in \{(2016, 0), \ \ (0, 2016)\}$. Mulig dette skal tolkes som "ingen løsning" gitt ordlyden i oppgaven.

Stemmer det. Vi kan eventuelt skrive ligningen som $(a+1)(b+1)=2017$ og observere at $2017$ er primtall, mens hver av faktorene på venstresida er større enn 1, dermed er venstresida aldri prim, så det kan ikke finnes noen løsning.

[Gustav]

4. Anta at $(x+2)^6 = a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ for alle $x$. Bestem tallverdien av $a_5+a_3+a_1$.

Ved binomialformelen har vi at

$\displaystyle (x+2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^k 2^{6-k}$

Av dette ser vi at den $k$-ende koeffisenten er gitt ved $a_k = \binom{6}{k} 2^{6-k}$

Da blir $a_5+a_3+a_1 = \binom{6}{5} 2^{6-5} + \binom{6}{3} 2^{6-3} + \binom{6}{1} 2^{6-1} = 6 \cdot 2^5 + 20 \cdot 2^3 + 6 \cdot 2^1 = 364$

Korrekt!

Alternativt kan vi først sette x=1 i ligningen. Det gir $3^6=a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$. Deretter sette $x=-1$, som gir $1=a_6-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$. Differansen mellom disse to gir at $3^6-1=2(a_5+a_3+a_1)$, så $a_5+a_3+a_1=\frac{3^6-1}{2}=364$.

[Gustav]

Vi kaller summen av de $30$ tallene for $S_{30}$. Vi har at $\frac{S_{30}}{30} = 10 \enspace \Rightarrow \enspace S_{30} = 300$
Vi kaller summen av de gjenværende $20$ tallene for $S_{20}$. Da har vi at $\frac{S_{20}}{20} = 9 \enspace \Rightarrow \enspace S_{20} = 180$.

Da må summen av de tallene som ble fjernet være: $S_{fjernet} = S_{30} - S_{20} = 300 - 180 = 120$

Og da må gjennomsnittet av disse tallene være $\frac{120}{10} = 12$

Supert!

[Aleks855]

Prøver meg på 5.

Vi kan skrive likninga om til en funksjon som er lineær for en av variablene, eksempelvis $a$.

Vi får $a = \frac{2016-b}{b+1}$ som har de positive løsningene $(a, b) \in \{(2016, 0), \ \ (0, 2016)\}$. Mulig dette skal tolkes som "ingen løsning" gitt ordlyden i oppgaven.

Stemmer det. Vi kan eventuelt skrive ligningen som $(a+1)(b+1)=2017$ og observere at $2017$ er primtall, mens hver av faktorene på venstresida er større enn 1, dermed er venstresida aldri prim, så det kan ikke finnes noen løsning.

Det var mye penere. Jeg lurte på hvorfor det var en 2016-oppgave, og ikke en 2017-oppgave ja.

[Gustav]

Hint til de uløste problemene er nå lagt til.

[OYV offline]

Har et spørsmål til oppgave 7:

Har funnet p(x) = x + a*(x - 1)(x- 2)(x - 3)(x - 4)

Ut fra opplysningene i oppgaveteksta kan tallfaktoren a være et hvilket som helst tall, bare ikke lik null ( 0 ).

Det må da bety at p( 5 ) ikke er entydig bestemt , eller har jeg feiltolket problemet ?

[Gustav]

Godt observert. Glemte tilleggsopplysningen at $p(0)=1$

[OYV offline]

Takk for tilbakemelding ! Da er p( 5 ) entydig bestemt ( a = [tex]\frac{1}{24}[/tex] ).

[Janhaa]

9. Finn alle funksjoner $f(x)$ slik at $xf(x-1)+(x-1)f(x)=x$ for alle reelle tall $x$. Hint:

[+] Skjult tekst

Ingen slike funksjoner fins. Finn et paradoks ved innsetting av passende verdier for x

Gjorde oppg 9 i går, men glemte den av.
Fant for øvrig ut at:

[tex]x=0:[/tex]
gir
[tex]f(0)=0[/tex]
og
[tex]x=1[/tex]
gir
[tex]f(0)=1[/tex]

som blir motsigelse.

Ellers mener jeg at liknende funksjonalligninger ofte er på:
[tex]f(x)=1/x[/tex]
form?

[Gustav]

Riktig!

[Markus]

1. Finn alle tripler (x,y,z) slik at $x^2 + 2 y^2 + z^2=2xy+2yz$

$x^2+2 y^2 +z^2=2xy+2yz$

$x^2+2y^2+z^2-2xy-2yz=0$

$x^2-2xy+y^2+z^2-2yz+y^2 = 0$

$(x-y)^2 + (z-y)^2 = 0$

Siden både $(x-y)^2$ og $(z-y)^2$ gir positive verdier, så lenge $x-y \neq 0$ og $z-y \neq 0$, er den eneste måten likningen kan være sann på hvis $x-y = 0$ og $z-y = 0$.

Det finnes uendelig mange tripler $(x,y,z)$ som oppfyller det kriteriet, og alle er på formen $(n,n,n)$, altså $x=y=z$.