Nøtt: Grenseverdi

[stensrud]

For $n\in \mathbb{N}$, definer
$$f(n):=e^{-n}{\int }_0^n\frac{n^x}{\mathrm{\Gamma }(x+1)}dx.$$
Finn grenseverdien $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(n)$.

[stensrud]

Hint:
$$e^n=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^x}{\mathrm{\Gamma }(x+1)}.$$

[zzzivert]

Observer at integranden er stigende da $n^x$ vokser raskere* enn $\mathrm{\Gamma }(x+1)$ på interallet $[0,n]$.
Derfor har vi
$g(n)=e^{-n}\sum _{x=0}^{n-1}\frac{n^x}{\mathrm{\Gamma }(x+1)}<f(n)<e^{-n}\sum _{x=1}^n\frac{n^x}{\mathrm{\Gamma }(x+1)}=h(n)$
Siden $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}g(n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}h(n)=1$, følger det at $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(n)=1$.

[stensrud]

Observer at integranden er stigende da $n^x$ vokser raskere* enn $\mathrm{\Gamma }(x+1)$ på interallet $[0,n]$.
Derfor har vi
$g(n)=e^{-n}\sum _{x=0}^{n-1}\frac{n^x}{\mathrm{\Gamma }(x+1)}<f(n)<e^{-n}\sum _{x=1}^n\frac{n^x}{\mathrm{\Gamma }(x+1)}=h(n)$
Siden $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}g(n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}h(n)=1$, følger det at $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(n)=1$.

Det er ikke noe feil med den første delen, men det er ikke sant at $g,h\to 1$.

[zzzivert]

Hmmm. Prøver på nytt.

$g,h\to \sum _{x=0}^n\frac{n^x{e}^{-n}}{n!}$. Dette er en CDF (opp til $k=n=\lambda$) av Poisson-fordelingen med $\lambda =n$.
Siden Poisson-fordelingen har median $n$, går summen mot $\frac{1}{2}$.
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(n)=\frac{1}{2}$

https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

[stensrud]

Hmmm. Prøver på nytt.

$g,h\to \sum _{x=0}^n\frac{n^x{e}^{-n}}{n!}$. Dette er en CDF (opp til $k=n=\lambda$) av Poisson-fordelingen med $\lambda =n$.
Siden Poisson-fordelingen har median $n$, går summen mot $\frac{1}{2}$.
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(n)=\frac{1}{2}$

https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

Jepp! Nå kan godt hende jeg tar feil, men er ikke medianen til Poisson-fordelingen med parameter $\lambda$ bare cirka lik $\lambda$, og ikke nøyaktig lik? Uansett så burde det vel gå fint ettersom vi ganger det hele med $e^{-n}$.

Selv brukte jeg sentralgrenseteoremet: Hvis $X_1,X_2,\dots ,X_n$ er uavhengige $\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}(1)$-variabler så er $Y:=X_1+X_2+\cdots +X_n\sim \mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}(\mathrm{n})$. Da følger det av CLT at
$$\mathbb{P}(Y\le n)=\mathbb{P}(\frac{Y-n}{\sqrt{n}}\le 0)\to \mathrm{\Phi }(0)=\frac{1}{2}.$$