For $n\in \mathbb{N}$, definer
\[ f(n):=e^{-n}\int_0^n\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}\mathop{dx}. \]
Finn grenseverdien $ \lim_{n\to \infty}f(n)$.
zzzivert skrev:Observer at integranden er stigende da [tex]n^x[/tex] vokser raskere* enn [tex]\Gamma(x+1)[/tex] på interallet [tex][0,n][/tex].
Derfor har vi
[tex]g(n)=e^{-n}\sum_{x=0}^{n-1}\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}<f(n)<e^{-n}\sum_{x=1}^{n}\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}=h(n)[/tex]
Siden [tex]\lim_{n\rightarrow\infty} g(n)=\lim_{n\rightarrow\infty} h(n)=1[/tex], følger det at [tex]\lim_{n\rightarrow\infty} f(n)=1[/tex].
zzzivert skrev:Hmmm. Prøver på nytt.
[tex]g, h \rightarrow \sum_{x=0}^{n}\frac{n^xe^{-n}}{n!}[/tex]. Dette er en CDF (opp til [tex]k=n=\lambda[/tex]) av Poisson-fordelingen med [tex]\lambda=n[/tex].
Siden Poisson-fordelingen har median [tex]n[/tex], går summen mot [tex]\frac{1}{2}[/tex].
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}f(n)=\frac{1}{2}[/tex]
https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution
Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 27 gjester