Nøtt: Grenseverdi

[stensrud offline]

For $n\in \mathbb{N}$, definer
\[ f(n):=e^{-n}\int_0^n\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}\mathop{dx}. \]
Finn grenseverdien $ \lim_{n\to \infty}f(n)$.

[stensrud offline]

Hint:
\[ e^n=\sum_{x=0}^\infty \frac{n^x}{\Gamma(x+1)}. \]

[zzzivert offline]

Observer at integranden er stigende da [tex]n^x[/tex] vokser raskere* enn [tex]\Gamma(x+1)[/tex] på interallet [tex][0,n][/tex].
Derfor har vi
[tex]g(n)=e^{-n}\sum_{x=0}^{n-1}\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}<f(n)<e^{-n}\sum_{x=1}^{n}\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}=h(n)[/tex]
Siden [tex]\lim_{n\rightarrow\infty} g(n)=\lim_{n\rightarrow\infty} h(n)=1[/tex], følger det at [tex]\lim_{n\rightarrow\infty} f(n)=1[/tex].

[stensrud offline]

Observer at integranden er stigende da [tex]n^x[/tex] vokser raskere* enn [tex]\Gamma(x+1)[/tex] på interallet [tex][0,n][/tex].
Derfor har vi
[tex]g(n)=e^{-n}\sum_{x=0}^{n-1}\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}<f(n)<e^{-n}\sum_{x=1}^{n}\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}=h(n)[/tex]
Siden [tex]\lim_{n\rightarrow\infty} g(n)=\lim_{n\rightarrow\infty} h(n)=1[/tex], følger det at [tex]\lim_{n\rightarrow\infty} f(n)=1[/tex].

Det er ikke noe feil med den første delen, men det er ikke sant at $g,h\to 1$.

[zzzivert offline]

Hmmm. Prøver på nytt.

[tex]g, h \rightarrow \sum_{x=0}^{n}\frac{n^xe^{-n}}{n!}[/tex]. Dette er en CDF (opp til [tex]k=n=\lambda[/tex]) av Poisson-fordelingen med [tex]\lambda=n[/tex].
Siden Poisson-fordelingen har median [tex]n[/tex], går summen mot [tex]\frac{1}{2}[/tex].
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}f(n)=\frac{1}{2}[/tex]

https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

[stensrud offline]

Hmmm. Prøver på nytt.

[tex]g, h \rightarrow \sum_{x=0}^{n}\frac{n^xe^{-n}}{n!}[/tex]. Dette er en CDF (opp til [tex]k=n=\lambda[/tex]) av Poisson-fordelingen med [tex]\lambda=n[/tex].
Siden Poisson-fordelingen har median [tex]n[/tex], går summen mot [tex]\frac{1}{2}[/tex].
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}f(n)=\frac{1}{2}[/tex]

https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

Jepp! Nå kan godt hende jeg tar feil, men er ikke medianen til Poisson-fordelingen med parameter $\lambda$ bare cirka lik $\lambda$, og ikke nøyaktig lik? Uansett så burde det vel gå fint ettersom vi ganger det hele med $e^{-n}$.

Selv brukte jeg sentralgrenseteoremet: Hvis $X_1,X_2,\dotsc,X_n$ er uavhengige $\rm{Pois}(1)$-variabler så er $Y:=X_1+X_2+\dotsb+X_n\sim\rm{Pois}(n)$. Da følger det av CLT at
\[ \mathbb{P}(Y\leq n)=\mathbb{P}\left(\frac{Y-n}{\sqrt{n}}\leq 0\right)\to \Phi(0) =\frac{1}{2}.\]