Trigonometrisk rekke

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Trigonometrisk rekke

Innlegg Markus » 14/07-2018 22:42

La $\theta$ være gitt i radianer, der $\theta \neq 2k\pi, \enspace k \in \mathbb{Z}$. Finn da summen av rekken $$\sin(0\theta)+\sin(1 \theta) + \sin(2 \theta) + \dots + \sin(n\theta)$$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Trigonometrisk rekke

Innlegg Kay » 15/07-2018 19:33

Markus skrev:La $\theta$ være gitt i radianer, der $\theta \neq 2k\pi, \enspace k \in \mathbb{Z}$. Finn da summen av rekken $$\sin(0\theta)+\sin(1 \theta) + \sin(2 \theta) + \dots + \sin(n\theta)$$


Regner med at det finnes elegante måter å løse dette på, men gjør et forsøk:

[tex]\sum_{k=0}^n\sin(k\theta)=\Im\left (\sum_{k=0}^n(e^{i\theta})^k \right )[/tex]

Her sier du at [tex]\theta[/tex] ikke er et multiplum av [tex]2k\pi[/tex] Ergo er dette geometrisk, og da er det ganske planke å gå fram, men uttrykket blir noe stygt

Da får vi med litt mellomregning [tex]\Im\left ( \frac{1-\cos((n+1)\theta)-i\sin((n+1)\theta)}{1-cos(\theta)-i\sin(\theta)} \right )[/tex]

Nå ønsker vi vel helst reelle tall og da får vi [tex]\frac{1-\cos((n+1)\theta)\sin(\theta)-\sin((n+1)\theta)(1-\cos(\theta))}{2(1-\cos(\theta))}=\frac{\sin(n\theta)-\sin((n+1)\theta)+1}{2(1-\cos(\theta))}[/tex]


Edit: Alt dette følger naturligvis fra Eulers formel [tex]e^{ik\theta}=\cos(k\theta)+i\sin(k\theta)[/tex]
Sist endret av Kay den 15/07-2018 21:27, endret 2 ganger.
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 559
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Trigonometrisk rekke

Innlegg Markus » 15/07-2018 21:23

Yes, flott arbeid Kay! Jeg vet ikke om noen mer elegant, og kortere utledning. Kan løses omtrent helt likt med de Moivre. Angående sluttformelen kan den forenkles litt til $\frac{\sin \left ( \frac{n\theta}{2} \right)\sin \left (\frac{n+1}{2}\theta \right )}{\sin \left ( \frac{\theta}{2} \right )}$

Oppfølger i samme gate (gjerne kom med noen du og!);
Vis at $$\cos(5\theta) = \cos^5\theta -10\cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta$$

Edit: så editen din, og har ikke sett om din formel stemmer med den jeg kom fram til, men du har i alle fall tenkt rett!
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Trigonometrisk rekke

Innlegg Kay » 18/07-2018 15:26

Markus skrev:Yes, flott arbeid Kay! Jeg vet ikke om noen mer elegant, og kortere utledning. Kan løses omtrent helt likt med de Moivre. Angående sluttformelen kan den forenkles litt til $\frac{\sin \left ( \frac{n\theta}{2} \right)\sin \left (\frac{n+1}{2}\theta \right )}{\sin \left ( \frac{\theta}{2} \right )}$

Oppfølger i samme gate (gjerne kom med noen du og!);
Vis at $$\cos(5\theta) = \cos^5\theta -10\cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta$$

Edit: så editen din, og har ikke sett om din formel stemmer med den jeg kom fram til, men du har i alle fall tenkt rett!



Skal gjøre et forsøk på den når jeg kommer hjem fra trening,

Ser forresten en mulighet til for den første rekka som jeg kunne ha tenkt meg å prøve også, det omhandler teleskoperende rekker, tror faktisk at det skal gå.
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 559
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Trigonometrisk rekke

Innlegg Markus » 18/07-2018 17:05

Kay skrev:
Markus skrev:Yes, flott arbeid Kay! Jeg vet ikke om noen mer elegant, og kortere utledning. Kan løses omtrent helt likt med de Moivre. Angående sluttformelen kan den forenkles litt til $\frac{\sin \left ( \frac{n\theta}{2} \right)\sin \left (\frac{n+1}{2}\theta \right )}{\sin \left ( \frac{\theta}{2} \right )}$

Oppfølger i samme gate (gjerne kom med noen du og!);
Vis at $$\cos(5\theta) = \cos^5\theta -10\cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta$$

Edit: så editen din, og har ikke sett om din formel stemmer med den jeg kom fram til, men du har i alle fall tenkt rett!



Skal gjøre et forsøk på den når jeg kommer hjem fra trening,

Ser forresten en mulighet til for den første rekka som jeg kunne ha tenkt meg å prøve også, det omhandler teleskoperende rekker, tror faktisk at det skal gå.


Tror jeg ser hva du tenker - tenker du å splitte opp hvert ledd i rekkene med sumformelen $\sin(u\pm v)$? Veldig smart tenkt, må nesten prøve det selv og. Sikkert flere måter å løse trig. identiteten på, men hvis du står fast er et hint i spoileren.

[+] Skjult tekst
de Moivres formel
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Trigonometrisk rekke

Innlegg Kay » 20/07-2018 19:06

Markus skrev:
Kay skrev:
Markus skrev:Yes, flott arbeid Kay! Jeg vet ikke om noen mer elegant, og kortere utledning. Kan løses omtrent helt likt med de Moivre. Angående sluttformelen kan den forenkles litt til $\frac{\sin \left ( \frac{n\theta}{2} \right)\sin \left (\frac{n+1}{2}\theta \right )}{\sin \left ( \frac{\theta}{2} \right )}$

Oppfølger i samme gate (gjerne kom med noen du og!);
Vis at $$\cos(5\theta) = \cos^5\theta -10\cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta$$

Edit: så editen din, og har ikke sett om din formel stemmer med den jeg kom fram til, men du har i alle fall tenkt rett!



Skal gjøre et forsøk på den når jeg kommer hjem fra trening,

Ser forresten en mulighet til for den første rekka som jeg kunne ha tenkt meg å prøve også, det omhandler teleskoperende rekker, tror faktisk at det skal gå.


Tror jeg ser hva du tenker - tenker du å splitte opp hvert ledd i rekkene med sumformelen $\sin(u\pm v)$? Veldig smart tenkt, må nesten prøve det selv og. Sikkert flere måter å løse trig. identiteten på, men hvis du står fast er et hint i spoileren.

[+] Skjult tekst
de Moivres formel


Bruker x nå fordi å skrive \theta hundre ganger er en smerte i rævva :lol:

Men altså vi kan observere at [tex]2\sin \left (\frac{x}{2} \right )\sin( kx)=\cos\left ( \frac{(2k-1)x}{2} \right )-\cos\left ( \frac{(2k+1)x}{2} \right )[/tex]

Da kan vi se videre at vi får den teleskoperende summen [tex]2\sin\left ( \frac{x}{2} \right )\sum_{k=1}^n\sin(kx)=\cos\left ( \frac{x}{2} \right )-\cos\left ( \frac{(2n+1)x}{2} \right )=2\sin\left ( \frac{nx}{2} \right )\sin\left ( \frac{(n+1)x}{2} \right )[/tex]

Og da kan vi se at summen alene gir det uttrykket du skrev der oppe, er nesten for lat til å kjøre det inn i tex :lol:
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 559
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Trigonometrisk rekke

Innlegg Markus » 21/07-2018 08:02

Elegant Kay! :D
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Trigonometrisk rekke

Innlegg Kay » 21/07-2018 17:13

[tex]\cos(5\theta)=e^{i(5\theta)}=(e^{i\theta})^5=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^5=\cos^{5}(\theta)-10\cos^3(\theta)sin^2(\theta)+5\cos(\theta)sin^4(\theta)[/tex]


Hvis vi betraktere de reelle komponentene ^

Oppfølger:

[tex]\lim_{x\rightarrow1}\ (1-x)\tan(\frac{x\pi}{2})[/tex]

Kanskje vi skulle ha lagd en slags trig-maraton for all ting trig i og med at vi har et multiplum andre maraton? :idea:
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 559
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Trigonometrisk rekke

Innlegg Markus » 21/07-2018 19:59

Kay skrev:Oppfølger:

[tex]\lim_{x\rightarrow1}\ (1-x)\tan(\frac{x\pi}{2})[/tex]

Kanskje vi skulle ha lagd en slags trig-maraton for all ting trig i og med at vi har et multiplum andre maraton? :idea:

$\lim_{x \to 1} (1-x)\tan(\frac{x \pi}{2})=\lim_{x\to 1} \frac{1-x}{\frac{1}{\tan(\frac{x\pi}{2})}} \enspace \overset{\text{L’H}}{=} \enspace \lim_{x \to 1} \frac{2\sin^2(\frac{\pi x}{2})}{\pi} = \frac{2}{\pi}$
Der notasjonen $\overset{\text{L’H}}{=}$ er bruk av L’Hôpitals regel. Hvordan løste du den?

Angående det å lage en felles tråd, er ikke det en dårlig idé. Men vi trenger jo heller samtidig ikke å ha samletråder for alt. Forresten, løste den trig.identiteten likt som deg!

Oppfølger (hvis vanskelig, rop ut for hint); Hva konvergerer følgende produkt mot?
$$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots$$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Trigonometrisk rekke

Innlegg Mattegjest » 22/07-2018 09:50

Den repeterande faktoren kan skrivast

a[tex]_m[/tex] = (2m)[tex]^2[/tex]/((2m + 1)(2m - 1 )) = (2m)[tex]^2[/tex]/((2m)[tex]^2[/tex] -1 ), m >= 1


Produket a[tex]_1[/tex] * a[tex]_2[/tex] * ********* a[tex]_n[/tex] når n går mot uendeleg = Pi/2 ( Wallis formel )
Mattegjest offline

Re: Trigonometrisk rekke

Innlegg Mattegjest » 23/07-2018 07:42

Oppfølgar:

Vis , utan å bruke L'Hopitals regel , at

(1 - x ) * tan(x * pi/2 ) nærmar seg 2/pi når x går mot 1.
Mattegjest offline

Re: Trigonometrisk rekke

Innlegg Markus » 23/07-2018 19:47

Mattegjest skrev:Oppfølgar:

Vis , utan å bruke L'Hopitals regel , at

(1 - x ) * tan(x * pi/2 ) nærmar seg 2/pi når x går mot 1.

Alternativt, skriv

$L=\lim_{x \to 1} \left[(1-x)\left(\frac{1}{\tan(\frac{\pi x}{2} )}\right)^{-1} \right] = \lim_{x \to 1} \left[(1-x)\left(\frac{\cos(\frac{\pi x}{2})}{\sin(\frac{\pi x}{2} )}\right)^{-1} \right] = \lim_{x \to 1} \left[(1-x)\left(\frac{\cos(\frac{\pi x}{2})}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} + \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2} )}\right)^{-1} \right] = \lim_{x \to 1} \left[\frac{1-x}{\left(\frac{\cos(\frac{\pi x}{2})}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} + \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2} )}\right)} \right]$

La nå $f(x)=\frac{\cos(\frac{2\pi}{x})}{\sin(\frac{2\pi}{x})}$, og observer at $$L^{-1} = -\lim_{x \to 1} \left[\frac{{\frac{\cos(\frac{\pi x}{2})}{\sin(\frac{\pi x}{2})}} - {\frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})}}}{x-1} \right] = -f'(1) = \frac{\pi}{2} \implies L = \frac{2}{\pi}$$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Trigonometrisk rekke

Innlegg Mattegjest » 23/07-2018 21:28

Her brukar du definisjonen på den deriverte for å få tak i grenseverdien. Original og kreativ løysing.
Alternativt kan vi bruke grenseverdien ( sin( u )/u = 1 når u går mot 0 ) som vi kjenner frå R2-pensum.
Mattegjest offline

Re: Trigonometrisk rekke

Innlegg DennisChristensen » 24/07-2018 17:30

Mattegjest skrev:Oppfølgar:

Vis , utan å bruke L'Hopitals regel , at

(1 - x ) * tan(x * pi/2 ) nærmar seg 2/pi når x går mot 1.


Personlig synes jeg som regel Laurantrekker og binomialteoremet gir de enkleste løsningene på slike grenseverdier:

Vi vet at $$\sin \left(\frac{\pi}{2}x\right) = 1 + O\left((x-1)^2\right),$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) = -\frac{\pi}{2}(x-1) + O\left((x-1)^3\right),$$ så $$\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right) = \frac{1 + O\left((x-1)^2\right)}{-\frac{\pi}{2}(x-1) + O\left((x-1)^3\right)} = -\frac{2}{\pi(x-1)}\left[1+O\left((x-1)^2\right)\right]\frac{1}{1 - O\left((x-1)^2\right)} = -\frac{2}{\pi(x-1)}\left[1+O\left((x-1)^2\right)\right]\left[1 + O\left((x-1)^2\right)\right] = -\frac{2}{\pi(x-1)} + O\left((x-1)\right).$$ Dermed ser vi at $$\lim_{x\rightarrow 1} (1-x)\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right) = \lim_{x\rightarrow 1} \left[\frac{2}{\pi} + O\left((x-1)^2\right)\right] = \frac{2}{\pi}$$
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 787
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 37 gjester