Jeg får ikke til følgende integralstykke:
[tex]\int_0^{\frac {\pi}{2}} \ \int_0^1 \ r^2 \cos\theta * \sqrt {1+r^2 \cos^2\theta } \ dr \ d\theta[/tex]
Integrasjonsstykke
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Hvis det er slik at det du egentlig skal regne ut er
[tex]I \;=\; \int \int x \sqrt{1 \:+\: x^2} \: dA[/tex]
der A er området innenfor sirkelen x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = 1 med x, y ≥ 0, er det mye enklere å beregne
[tex]I \;=\; \int_0^{\, 1} \int_0^{\:\: \tiny \sqrt{1 \:-\: x^2}} x \sqrt{1 \:+\: x^2} \: dy\,dx[/tex]
enn
[tex]I \;=\; \int_0^{\pi/2} \int_0^{\,1} r^2 \, cos\theta \sqrt{1 \:+\:r^2\,cos \theta^2}\: dr\,d\theta[/tex]
som er resultatet av å innføre polare koordinater.
[tex]I \;=\; \int \int x \sqrt{1 \:+\: x^2} \: dA[/tex]
der A er området innenfor sirkelen x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = 1 med x, y ≥ 0, er det mye enklere å beregne
[tex]I \;=\; \int_0^{\, 1} \int_0^{\:\: \tiny \sqrt{1 \:-\: x^2}} x \sqrt{1 \:+\: x^2} \: dy\,dx[/tex]
enn
[tex]I \;=\; \int_0^{\pi/2} \int_0^{\,1} r^2 \, cos\theta \sqrt{1 \:+\:r^2\,cos \theta^2}\: dr\,d\theta[/tex]
som er resultatet av å innføre polare koordinater.
-
Ida.
Det jeg egentlig skal finne er [tex]\int_S \int x \ dS[/tex] over the part of the parabolic cylinder [tex]z=\frac{x^2}{2}[/tex] that lies inside the first octant part of the cylinder [tex]x^2 +y^2=1[/tex].
Og da endte jeg etterhver opp med det ovenfor, som jeg ikke klarer.
Og da endte jeg etterhver opp med det ovenfor, som jeg ikke klarer.
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Det integralet du har fått ved å bruke polarkoordinater, er svært vanskelig å løse. Derfor kan det være fornuftig å gjøre en omskrive integralet til
[tex]I \;=\; \int_0^1 \, \int_0^{\:\sqrt{1 \:-\: x^2}} \: x\sqrt{1 \:+\: x^2} \: dy\,dx[/tex]
som er relativt enkelt å løse. Vi får nemlig at
[tex]I \;=\; \int_0^1 \: \Big[ \, x\sqrt{1 \:+\: x^2} \, \Big]_0^{\sqrt{1 \:-\: x^2}} \: dx[/tex]
[tex]=\; \int_0^1 \: x\sqrt{1 \:-\: x^4} \: dx[/tex]
[tex]=\; \int_0^{\pi/2} \frac{cos^2\theta}{2} \: d\theta \;\; (bruker \; substitusjonen \; x \:=\: \sqrt{sin\theta})[/tex]
[tex]=\; \int_0^{\pi/2} \frac{1 \:+\: cos2\theta}{4} \: d\theta[/tex]
[tex]=\; \Big[\, \frac{\theta}{2} \:+\: \frac{sin2\theta}{8}\, \Big]_0^{\pi/4}[/tex]
[tex]=\; \pi/8\,.[/tex]
[tex]I \;=\; \int_0^1 \, \int_0^{\:\sqrt{1 \:-\: x^2}} \: x\sqrt{1 \:+\: x^2} \: dy\,dx[/tex]
som er relativt enkelt å løse. Vi får nemlig at
[tex]I \;=\; \int_0^1 \: \Big[ \, x\sqrt{1 \:+\: x^2} \, \Big]_0^{\sqrt{1 \:-\: x^2}} \: dx[/tex]
[tex]=\; \int_0^1 \: x\sqrt{1 \:-\: x^4} \: dx[/tex]
[tex]=\; \int_0^{\pi/2} \frac{cos^2\theta}{2} \: d\theta \;\; (bruker \; substitusjonen \; x \:=\: \sqrt{sin\theta})[/tex]
[tex]=\; \int_0^{\pi/2} \frac{1 \:+\: cos2\theta}{4} \: d\theta[/tex]
[tex]=\; \Big[\, \frac{\theta}{2} \:+\: \frac{sin2\theta}{8}\, \Big]_0^{\pi/4}[/tex]
[tex]=\; \pi/8\,.[/tex]
-
Ida.
Åh, jeg synes det så ut som om likningene skrek etter en parametrisering med polarkoordinater jeg.
Men hvordan kom du frem til [tex]\int_0^1%20\,%20\int_0^{\:\sqrt{1%20\:-\:%20x^2}}%20\:%20x\sqrt{1%20\:+\:%20x^2}%20\:%20dy\,dx[/tex] ?
Men hvordan kom du frem til [tex]\int_0^1%20\,%20\int_0^{\:\sqrt{1%20\:-\:%20x^2}}%20\:%20x\sqrt{1%20\:+\:%20x^2}%20\:%20dy\,dx[/tex] ?
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Området gitt ved ulikhetene
0 ≤ θ ≤ [symbol:pi]/2 & 0 ≤ r ≤ 1 (polare koordinater)
tilsvarer området gitt ved ulikhetene
0 ≤ x ≤ 1 & 0 ≤ y ≤ kv.rot(1 - x[sup]2[/sup]) (kartesiske koordinater).
Videre kan integranden i "ditt" integral
[tex]r^2\,cos \, \theta \sqrt{1 \:+\; r^2\,cos^2\theta}[/tex]
skrives på formen r*f(r*cosθ,r*sinθ) der
[tex] f(x,y) \;=\; x \, \sqrt{1 \:+\: x^2}.[/tex]
Ifølge et kjent teorem innen analysen som omhandler flateintegral er da
[tex]\int_0^1 \int_0^{\:\sqrt{1 \:-\: x^2}} f(x,y) \, dy\, dx \;=\; \int_0^{\pi/2}\, \int_0^{\,1} r \, f(rcos\theta, \, r\sin\theta) \: dr \, d\theta \, ,[/tex]
i.e.
[tex]\int_0^1 \int_0^{\:\sqrt{1 \:-\: x^2}} x\sqrt{1 \:+\: x^2} \, dy\, dx \;=\; \int_0^{\pi/2}\, \int_0^{\,1} r^2\,cos \, \theta \sqrt{1 \:+\; r^2\,cos^2\theta} \: dr \, d\theta[/tex]
0 ≤ θ ≤ [symbol:pi]/2 & 0 ≤ r ≤ 1 (polare koordinater)
tilsvarer området gitt ved ulikhetene
0 ≤ x ≤ 1 & 0 ≤ y ≤ kv.rot(1 - x[sup]2[/sup]) (kartesiske koordinater).
Videre kan integranden i "ditt" integral
[tex]r^2\,cos \, \theta \sqrt{1 \:+\; r^2\,cos^2\theta}[/tex]
skrives på formen r*f(r*cosθ,r*sinθ) der
[tex] f(x,y) \;=\; x \, \sqrt{1 \:+\: x^2}.[/tex]
Ifølge et kjent teorem innen analysen som omhandler flateintegral er da
[tex]\int_0^1 \int_0^{\:\sqrt{1 \:-\: x^2}} f(x,y) \, dy\, dx \;=\; \int_0^{\pi/2}\, \int_0^{\,1} r \, f(rcos\theta, \, r\sin\theta) \: dr \, d\theta \, ,[/tex]
i.e.
[tex]\int_0^1 \int_0^{\:\sqrt{1 \:-\: x^2}} x\sqrt{1 \:+\: x^2} \, dy\, dx \;=\; \int_0^{\pi/2}\, \int_0^{\,1} r^2\,cos \, \theta \sqrt{1 \:+\; r^2\,cos^2\theta} \: dr \, d\theta[/tex]
-
Matteliten
- Cayley
- Innlegg: 57
- Registrert: 27/02-2006 19:11
- Sted: Trondheim
Hva er det egentlig du gjør nedover her?Solar Plexsus skrev:
[tex]=\; \int_0^{\pi/2} \frac{cos^2\theta}{2} \: d\theta \;\; (bruker \; substitusjonen \; x \:=\: \sqrt{sin\theta})[/tex]
[tex]=\; \int_0^{\pi/2} \frac{1 \:+\: cos2\theta}{4} \: d\theta[/tex]
[tex]=\; \Big[\, \frac{\theta}{2} \:+\: \frac{sin2\theta}{8}\, \Big]_0^{\pi/4}[/tex]
[tex]=\; \pi/8\,.[/tex]
Lurer spesielt på hvordan du kommer frem til det første der ved hjelp av den substitusjonen der?-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Forklaring 1:
[tex]\int_0^1 x\sqrt{1 \:-\: x^4} \, dx \;=\; \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} cos^2\theta \, d\theta. [/tex]
Vha. av substitusjonen x = (sinθ)[sup]1/2[/sup], får vi ved bruk av kjerneregelen at
[tex]dx/d\theta \;=\; \frac{1}{2\sqrt{sin\theta}} \, \cdot \, cos\theta \;=\; \frac{ cos\theta}{2x},[/tex]
som gir dx = (cosθ/(2x))dθ. Videre blir
(1) 1 - x[sup]4[/sup] = 1 - [(sinθ)[sup]1/2[/sup]][sup]4[/sup] = 1 - sin[sup]2[/sup]θ = cos[sup]2[/sup]θ.
Nå gir x = (sinθ)[sup]1/2[/sup] at x[sup]2[/sup] = sinθ, så θ = sin[sup]-1[/sup](x[sup]2[/sup]). Dermed blir de nye integrasjonsgrensene
sin[sup]-1[/sup](0[sup]2[/sup]) = sin[sup]-1[/sup]0 = 0 (nedre) & sin[sup]-1[/sup](1[sup]2[/sup]) = sin[sup]-1[/sup]1 = [symbol:pi] /2 (øvre).
Så θ ligger i første kvadrant, hvilket betyr at cosθ ≥ 0. Dette i kombinasjon med (1) medfører at
[tex]\sqrt{1 \:-\: x^4} \;=\; cos\theta.[/tex]
Summa summarum gir dette at
[tex]\int_0^1 x\sqrt{1 \:-\: x^4} \, dx \;=\; \int_0^{\pi/2} (x \, cos\theta) \, (cos\theta/(2x))\, d\theta \;=\; \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} cos^2\theta \, d\theta[/tex]
Forklaring 2: For å omgjøre cos[sup]2[/sup]θ, bruker vi formelen
cos(2θ) = 2*cos[sup]2[/sup]θ - 1,
som er ekvivalent med
cos[sup]2[/sup]θ = (1 + cos(2θ)) / 2.
Dermed får vi at
[tex]\int_0^{\pi/2} cos^2\theta \, d\theta \;=\; \int_0^{\pi/2} \frac{1 \:+\: cos(2\theta)}{2}\, d\theta[/tex]
[tex]\int_0^1 x\sqrt{1 \:-\: x^4} \, dx \;=\; \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} cos^2\theta \, d\theta. [/tex]
Vha. av substitusjonen x = (sinθ)[sup]1/2[/sup], får vi ved bruk av kjerneregelen at
[tex]dx/d\theta \;=\; \frac{1}{2\sqrt{sin\theta}} \, \cdot \, cos\theta \;=\; \frac{ cos\theta}{2x},[/tex]
som gir dx = (cosθ/(2x))dθ. Videre blir
(1) 1 - x[sup]4[/sup] = 1 - [(sinθ)[sup]1/2[/sup]][sup]4[/sup] = 1 - sin[sup]2[/sup]θ = cos[sup]2[/sup]θ.
Nå gir x = (sinθ)[sup]1/2[/sup] at x[sup]2[/sup] = sinθ, så θ = sin[sup]-1[/sup](x[sup]2[/sup]). Dermed blir de nye integrasjonsgrensene
sin[sup]-1[/sup](0[sup]2[/sup]) = sin[sup]-1[/sup]0 = 0 (nedre) & sin[sup]-1[/sup](1[sup]2[/sup]) = sin[sup]-1[/sup]1 = [symbol:pi] /2 (øvre).
Så θ ligger i første kvadrant, hvilket betyr at cosθ ≥ 0. Dette i kombinasjon med (1) medfører at
[tex]\sqrt{1 \:-\: x^4} \;=\; cos\theta.[/tex]
Summa summarum gir dette at
[tex]\int_0^1 x\sqrt{1 \:-\: x^4} \, dx \;=\; \int_0^{\pi/2} (x \, cos\theta) \, (cos\theta/(2x))\, d\theta \;=\; \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} cos^2\theta \, d\theta[/tex]
Forklaring 2: For å omgjøre cos[sup]2[/sup]θ, bruker vi formelen
cos(2θ) = 2*cos[sup]2[/sup]θ - 1,
som er ekvivalent med
cos[sup]2[/sup]θ = (1 + cos(2θ)) / 2.
Dermed får vi at
[tex]\int_0^{\pi/2} cos^2\theta \, d\theta \;=\; \int_0^{\pi/2} \frac{1 \:+\: cos(2\theta)}{2}\, d\theta[/tex]