Finn det punktet på kurven som ligger nærmest

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
albertaaberg
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 1
Joined: 09/10-2006 18:54

Trenger litt hjelp....

Funksjon :
Y= (x^2-x+1)/x

x>0

Finn det punktet på kurven som ligger nærmest punktet (0,-1)

Kan noen foreslå en fremgangsmåte, har prøvd Newtons Metode, men den ser ikke ut til å fungere her....

[/quote]
Knuta
Galois
Galois
Posts: 568
Joined: 31/05-2006 14:59
Location: Oslo
Contact:

Hva med å lage en funksjon g(x) av pytagoras formel og din funksjon, så derivere denne?

[tex]g(x)=\sqrt{x^2+(y+1)^2}\\ \ \\ g(x)=\sqrt{\frac{2x^4+2x^2+1}{x^2}}[/tex]

hehe denne kan se ut som det blir en utfordring å derivere og løse.


men nærmste punktet på kurven er når [tex]x=-\frac{2^{3/4}}{2}[/tex] (siden x>0 faller denne i fra) og når [tex]x=\frac{2^{3/4}}{2}[/tex] finn y punktet med funksjon y(x) og avstanden med bruke av funksjonen g(x)
Solar Plexsus
Over-Guru
Over-Guru
Posts: 1686
Joined: 03/10-2005 12:09

I.o.m. at [symbol:rot]z vokser når z vokser, vil funksjonen g(x) nå sin minimalverdi når

[tex]\frac{2x^4 \:+\: 2x^2 + 1}{x^2} \;=\; 2x^2 \:+\: 2 \:+\: \frac{1}{x^2} \;=\; (\sqrt{2}\,x \:-\: \frac{1}{x})^2 \:+\: 2\sqrt{2} \:+\: 2[/tex]

er minimal. Det ser vi inntreffer når

[tex]\sqrt{2}\,x \:-\: \frac{1}{x} \;=\; 0,[/tex]

i.e.

[tex]x \;=\; \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\, . \;\; [/tex] (NB! x > 0)

M.a.o. er [tex](\, \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\: , \: \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \:-\: 1 \:+\: \sqrt[4]{2}\,)[/tex] det punktet på kurven som er nærmest punktet (0,-1).
Post Reply