2MX: Vektorer

[Teddy]

Jeg står bom fast på en oppgave her:

(Oppgave 633 side 106 i Aschehougs 2MX "Mate Matikk - Oppgavesamling" bok) Skriver vektorer med fete typer.

Gitt to vektorer a og b. Vektorene u og v er gitt ved u = a + b og v = a -2b.

a)
Vis at u*v = a^2 - a*b - 2b^2.

b)
Vi setter |a| = 4, |b| = 3 og (a, b) = 120º

1)
Undersøk om vektorene u og v står vinkelrett på hverandre

2)
Bestem tallet k slik at vektorene 2a + kb og a - b står vinkelrett på hverandre



Jeg syns egentlig vektorer er ganske logisk, men her butter noe for meg... Er glad for å få hjelp.

[arildno]

Jeg står bom fast på en oppgave her:

(Oppgave 633 side 106 i Aschehougs 2MX "Mate Matikk - Oppgavesamling" bok) Skriver vektorer med fete typer.

Gitt to vektorer a og b. Vektorene u og v er gitt ved u = a + b og v = a -2b.

a)
Vis at u*v = a^2 - a*b - 2b^2.

b)
Vi setter |a| = 4, |b| = 3 og (a, b) = 120º

1)
Undersøk om vektorene u og v står vinkelrett på hverandre

2)
Bestem tallet k slik at vektorene 2a + kb og a - b står vinkelrett på hverandre



Jeg syns egentlig vektorer er ganske logisk, men her butter noe for meg... Er glad for å få hjelp.

a) Utfør prikk-produktet (skalarproduktet) mellom u og v!
b1) i) Hvordan kan prikk-produktet mellom to vektorer skrives ved hjelp av vektorenes lengder, og vinklen mellom dem?
ii) Hva må prikk-produktet være lik dersom to vektorer står vinkelrett på hverandre?

b2) Bruk essensielt samme teknikk som over for å få en ligning for k.

[Teddy]

Jeg aner ikke hvordan jeg skal utføre prikkproduktet med slike variabler!
Ser ingen gode eksempler på det i boka, og når jeg prøver å kombinere de forskjellige formlene for vektorer stopper det opp.

Jeg trenger et løsningsforslag.

[Magnus]

[tex]\vec {u} \cdot \vec{v} = (\vec {a}+\vec{b})\cdot (\vec {a} - 2\vec{b})[/tex]

Så vet man at prikkproduktet er distributiv.

[tex]\Rightarrow (\vec{a} + \vec{b})\cdot(\vec{a} - 2\vec{b}) = (\vec{a}\cdot \vec{a} + \vec{b}\cdot {\vec{a})\cdot (-2\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{b}\cdot\vec{b} = \vec{a}^2 - \vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{b}^2[/tex]

[Teddy]

Ah, tusen takk! Var helt opphengt i denne |u|*|v|*cos(u,v) jeg.
Skal se om jeg får til den siste nå, hvis ikke kommer jeg tilbake etter ytterligere 10 forsøk.

[Teddy]

Prøvde å løse den ved å sette (2a + kb)(a-b) = 0. Da endte jeg opp med (a-b)/(b^3) = k. Mye mulig at de også ligger skjulte feil i den utregningen, men jeg vet heller ikke hva jeg evt skulle ha gjort med den siste påstanden min her for å få fasitsvaret som er 44/15.

[arildno]

Prøvde å løse den ved å sette (2a + kb)(a-b) = 0. Da endte jeg opp med (a-b)/(b^3) = k. Mye mulig at de også ligger skjulte feil i den utregningen, men jeg vet heller ikke hva jeg evt skulle ha gjort med den siste påstanden min her for å få fasitsvaret som er 44/15.

Hmmm...
Dette var nok feil:
[tex]2\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})+k\vec{b}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=0[/tex]
som gir:
[tex]k=-\frac{2\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})}{\vec{b}\cdot(\vec{a}-\vec{b})}[/tex]

[Teddy]

Hvor fikk du
[tex]\2\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})+k\vec{b}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=0[/tex]
fra, og hva gjør jeg med den siste k = .... du satte opp for å få tall i den?

[arildno]

Hvor fikk du
[tex]\2\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})+k\vec{b}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=0[/tex]
fra,

Jeg ganget ut parentesen:
Venstresiden din i likningen kan ganges ut slik:
[tex](2\vec{a}+k\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=2\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})+k\vec{b}\cdot(\vec{a}-\vec{b})[/tex]
Derfor kan vi putte dette utganga uttrykket inn på venstre-sida i den opprinnelige likningen din.

og hva gjør jeg med den siste k = .... du satte opp for å få tall i den?

Der må du gange ut all prikk-produktene du får, både i teller og nevner.
Disse vet du nok om til å beregne fra før!

[Xeult]

Jeg sliter med akkuratt samme oppgave.

Der må du gange ut all prikk-produktene du får, både i teller og nevner.
Disse vet du nok om til å beregne fra før!

Jeg gjorde det, og når jeg setter inn tall står jeg igjen med k = -((3^2)-12)/ -27 men det stemmer jo ikke kan du være så snill og vise hvordan jeg skal regne det ut?

[arildno]

[tex]k=-\frac{2\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})}{\vec{b}\cdot(\vec{a}-\vec{b})}[/tex]

I tillegg har vi relasjonene:
[tex]|\vec{a}|=4,|\vec{b}|=3,\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(120)|=4*3*(-\frac{1}{2})=-6[/tex]
Vi husker også at prikk-produktet av en vektor med seg selv er lik kvadratet av vektorens lengde (siden cos(0)=1).

Dermed får vi for teller:
[tex]2*(4^{2}-(-6))=2*(16+6)=44[/tex]
Mens for nevner:
[tex]-6-3^{2}=-6-9=-15[/tex]
Dermed har vi:
[tex]k=-\frac{44}{-15}=\frac{44}{15}[/tex]

[Teddy]

Tusen takk for hjelpen!