La [tex]f(x) = a^x[/tex] der a>1 er en konstant.
La [tex]g(x)[/tex] være et polynom.
Vis at [tex]\lim_{x \rightarrow \infty} \left [f(x) - g(x) \right ] = \infty[/tex].
Polynom vs. eksponentialfunksjon
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Siden denne ikke har blitt besvart skisserer jeg et mulig bevis.
Vi lar [tex]f(x) = a^x[/tex] og [tex]g(x)=a_nx^n + ... + a_0[/tex] etter restriksjonene over.
[tex]\lim _{x \rightarrow \infty}\ f(x) - g(x) = \lim _{x \rightarrow \infty} \ f(x) \left( 1 - \frac{g(x)}{f(x)} \right)[/tex]
Ved repetert bruk av L'Hôpitals regel er [tex]\lim _{x \rightarrow \infty} \ \frac{g(x)}{f(x)}[/tex] lik 0, og grenseverdien over går mot uendelig.
Vi lar [tex]f(x) = a^x[/tex] og [tex]g(x)=a_nx^n + ... + a_0[/tex] etter restriksjonene over.
[tex]\lim _{x \rightarrow \infty}\ f(x) - g(x) = \lim _{x \rightarrow \infty} \ f(x) \left( 1 - \frac{g(x)}{f(x)} \right)[/tex]
Ved repetert bruk av L'Hôpitals regel er [tex]\lim _{x \rightarrow \infty} \ \frac{g(x)}{f(x)}[/tex] lik 0, og grenseverdien over går mot uendelig.