Polynom vs. eksponentialfunksjon

[sEirik]

La $f(x)=a^x$ der a>1 er en konstant.
La $g(x)$ være et polynom.

Vis at $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-g(x)]=\mathrm{\infty }$.

[mrcreosote]

Hov, hov.

a>1.

Og x mot uendelig.

[sEirik]

Små skjønnhetsfeil

[daofeishi]

Siden denne ikke har blitt besvart skisserer jeg et mulig bevis.

Vi lar $f(x)=a^x$ og $g(x)=a_n{x}^n+...+a_0$ etter restriksjonene over.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)-g(x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)(1-\frac{g(x)}{f(x)})$

Ved repetert bruk av L'Hôpitals regel er $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{g(x)}{f(x)}$ lik 0, og grenseverdien over går mot uendelig.