asymptote

[Sasha]

Når [tex]x\rightarrow \infty [/tex] har [tex] f(x) = \sqrt{x^2 +3x} [/tex] asymptoten:

y= x+ 3/2
y= x
y=3x
y=x-1
Det finnes ingen asymptote


Hvordan finner man asymptoter på slike funksjoner da?

[zell]

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \ \frac{x^2 + 3x}{\sqrt{x^2 + 3x}} = \lim_{x\rightarrow \infty} \ \frac{x + 3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}}} = \frac{\infty + 3}{1} = \infty[/tex]

mao. ingen asymptote.

[terje1337]

ah, tenke ikke på å skrive det sånn tusen takk

[Charlatan]

vel, skrå asymptoter da?

f.eks: [tex]f(x)=\frac{(x^2+1)}{x}[/tex] har jo en skrå asymptote y=x

[Charlatan]

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \ \frac{x^2 + 3x}{\sqrt{x^2 + 3x}} =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x + 3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}}} = \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}}} + \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}}} = \frac{\lim_{x\rightarrow \infty}x}{\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{1 + \frac{3}{x}}} + \frac{\lim_{x\rightarrow \infty}3}{\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{1 + \frac{3}{x}}} = \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{1} + \frac{3}{1} = \lim_{x\rightarrow \infty} x + 3 [/tex]

(Bruker grensverdisetningene)
Som gir en skrå asymptote på [tex] y=x+3[/tex] ?
Eller er dette ikke riktig?

[fish]

Nei, det er det første av alternativene, altså y=x+3/2, som er korrekt.

Husk at

[tex]\sqrt{x^2+3x}=\sqrt{(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}}[/tex]

[Carve]

x -> inf , f(x) = sqrt(x^2+3x) = x*sqrt(1+3/x)

x -> inf sqrt(1+3/x) = 1 , dvs at asymptoten er x.

[Charlatan]

Nei, det ser nok ut som at "fish" har rett.

[Carve]

Hmm, hvis fish har rett, hvorfor er måten hans å framstille asymptoten på, riktig? Og hvorfor er min feil? =)

[fish]

Man er fremme hvis man kan vise

[tex]lim_{x\rightarrow \infty}\left(\sqrt{(x+3/2)^2-9/4}-(x+3/2)\right)=0[/tex]

Forsøk å lage en brøk der du multipliserer med den konjugerte [tex]\sqrt{(x+3/2)^2-9/4}+(x+3/2)[/tex]
oppe og nede og se hva som skjer.

[Carve]

x -> inf , f(x) = sqrt(x^2+3x) = x*sqrt(1+3/x)

x -> inf sqrt(1+3/x) = 1 , dvs at asymptoten er x.

Det viser seg at fish har rett ja Det jeg har funnet her er at x er paralell med asymptoten.

Hvis man tar lim x->+- inf [f(x)-x] = 2/3. dvs asymptoten er x + 2/3.