Bevisføring: 2 rasjonale tall = rasjonalt tall
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Vel, hvis du går ut ifra at:
- Produktet av to hele tall er et helt tall
- Summen av to hele tall er et helt tall
- Et rasjonalt tall kan skrives som en brøk bestående kun av hele tall.
Så er dette ganske enkelt.
Anta to rasjonale tall, [tex]x=\frac{a}{b}[/tex], og[tex] y=\frac{p}{q}[/tex], hvor [tex]a,b,p,q \in \mathbb{Z}[/tex] og følgelig [tex]x,u \in \mathbb{Q}[/tex]
Da vil summen av disse være: [tex]x+y=\frac{a}{b}+\frac{p}{q}[/tex]
Vi faktoriserer ved å finne fellesnevner (elementær algebra):
[tex]x+y=\frac{aq+bp}{qb}[/tex]
Ved antakelsene vi startet med har vi at aq+bp er lik et helt tall, og at qb er lik et helt tall. Et helt tall, delt på et helt tall er rasjonalt, thus, x+y er rasjonalt.
- Produktet av to hele tall er et helt tall
- Summen av to hele tall er et helt tall
- Et rasjonalt tall kan skrives som en brøk bestående kun av hele tall.
Så er dette ganske enkelt.
Anta to rasjonale tall, [tex]x=\frac{a}{b}[/tex], og[tex] y=\frac{p}{q}[/tex], hvor [tex]a,b,p,q \in \mathbb{Z}[/tex] og følgelig [tex]x,u \in \mathbb{Q}[/tex]
Da vil summen av disse være: [tex]x+y=\frac{a}{b}+\frac{p}{q}[/tex]
Vi faktoriserer ved å finne fellesnevner (elementær algebra):
[tex]x+y=\frac{aq+bp}{qb}[/tex]
Ved antakelsene vi startet med har vi at aq+bp er lik et helt tall, og at qb er lik et helt tall. Et helt tall, delt på et helt tall er rasjonalt, thus, x+y er rasjonalt.
Et lite oppfølgningsspørsmål til deg Jarle10.
Kan irrasjonale tall skrive som en brøk bestående av flere ledd?
F.eks:
[tex]\frac{\sqrt{3} - 2}{2+\sqrt{3}} - \frac{1}{2}[/tex] ?
Eller må de kun skrives som [tex]e, \ \pi \ \sqrt{2}[/tex] osv.?
Kan irrasjonale tall skrive som en brøk bestående av flere ledd?
F.eks:
[tex]\frac{\sqrt{3} - 2}{2+\sqrt{3}} - \frac{1}{2}[/tex] ?
Eller må de kun skrives som [tex]e, \ \pi \ \sqrt{2}[/tex] osv.?
Hmm,
Vi må nesten anta at summen av et irrasjonalt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt, at produktet av et irrasjonelt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt, og at kvotienten av et irrasjonelt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt? eller er dette hva vi skal bevise?
Hmm, ditt eksempel kan forkortes til:
[tex]\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}-\frac{1}{2}=\frac{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} -\frac{1}{2}= \frac{7+2\sqrt{3}}{-1}-\frac{1}{2}= -\frac{15+4\sqrt{3}}{2} = -(\frac{15}{2}+2\sqrt{3})[/tex]
Og hvis vi går ut ifra antakelsene så kan det det? Men jeg er usikker på om vi kan anta det.
Vi må nesten anta at summen av et irrasjonalt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt, at produktet av et irrasjonelt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt, og at kvotienten av et irrasjonelt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt? eller er dette hva vi skal bevise?
Hmm, ditt eksempel kan forkortes til:
[tex]\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}-\frac{1}{2}=\frac{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} -\frac{1}{2}= \frac{7+2\sqrt{3}}{-1}-\frac{1}{2}= -\frac{15+4\sqrt{3}}{2} = -(\frac{15}{2}+2\sqrt{3})[/tex]
Og hvis vi går ut ifra antakelsene så kan det det? Men jeg er usikker på om vi kan anta det.
Last edited by Charlatan on 16/10-2007 22:39, edited 4 times in total.
Ellers ville differansen mellom "svaret" og det rasjonale tallet blitt rasjonalt..Jarle10 wrote:Hmm,
Vi må nesten anta at summen av et irrasjonalt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt,
Ellers ville forhold mellom "svaret" og det rasjonale tallet vært rasjonalt..at produktet av et irrasjonelt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt,
Ellers ville produktet mellom det rasjonale tallet og "svaret" vært rasjonalt..og at kvotienten av et irrasjonelt tall og et rasjonalt tall er irrasjonalt?
