NB. Denne har sånn passe vanskelighetsgrad, men kan være en utfordring for flittige VGS-elever eller de som nettopp har startet på universitetet.
Gitt det uegentlige integralet: [tex]\int_0^\infty xe^{ax}\rm{dx}[/tex]
For hvilke verdier av konstanten a konvergerer integralet? Og hva er da integralets verdi uttrykt ved a?
Uegentlig integral, konvergering
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Hm, jeg er ikke helt sikker på dette her altså.
Vi observerer først at [tex]a \ < \ 0[/tex], fordi [tex]a[/tex] over [tex]0[/tex], og [tex]a[/tex] lik [tex]0[/tex] vil gjøre at integralet divergerer. (én eller to positive faktorer som gjør at grafen stiger grenseløst)
Vi integrerer:
[tex]\int^{\infty}_0xe^{ax}dx=[\frac{x}{a}e^{ax}]^{\infty}_0-\frac{1}{a}\int^{\infty}_0e^{ax}dx=[\frac{x}{a}e^{ax}-\frac{1}{a^2}e^{ax}]^{\infty}_0 = \lim_{x \to \infty }(\frac{x}{a}e^{ax}-\frac{1}{a^2}e^{ax})+\frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\lim_{x \to \infty}e^{ax}(ax-1)[/tex]
Ok, la oss nå se på [tex]\lim_{x \to \infty}e^{ax}(ax-1)[/tex], vi vet at a er negativ, så la [tex]a=-|a|[/tex]
Det gir oss grenseverdien
[tex]\lim_{x \to \infty}e^{-|a|x}(-|a|x-1) = \lim_{x \to \infty}-\frac{|a|x}{e^{|a|x}}-\frac{1}{e^{|a|x}} \\ = \lim_{x \to \infty}-\frac{1}{\frac{e^{|a|x}}{|a|x}}-\frac{1}{e^{|a|x}} \\ = -(\frac{1}{\frac{\lim_{x \to \infty}e^{|a|x}}{\lim_{x \to \infty}|a|x}} + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{e^{|a|x}}) [/tex]
(l'hôpitals regel)
[tex]= -(\frac{1}{\frac{\lim_{x \to \infty}|a|e^{|a|x}}{|a|}} + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{e^{|a|x}}) \\ = -\lim_{x \to \infty}-2e^{-|a|x}=0[/tex]
Derfor blir
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\lim_{x \to \infty}e^{ax}(ax-1) = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2} \cdot 0=\frac{1}{a^2}[/tex]
Jeg håper det er riktig!
Svaret vil da være:
[tex]\int^{\infty}_0xe^{ax}dx[/tex] vil konvergere dersom [tex]a \ < \ 0[/tex] og verdien vil bli [tex]\frac{1}{a^2}[/tex]
Vi observerer først at [tex]a \ < \ 0[/tex], fordi [tex]a[/tex] over [tex]0[/tex], og [tex]a[/tex] lik [tex]0[/tex] vil gjøre at integralet divergerer. (én eller to positive faktorer som gjør at grafen stiger grenseløst)
Vi integrerer:
[tex]\int^{\infty}_0xe^{ax}dx=[\frac{x}{a}e^{ax}]^{\infty}_0-\frac{1}{a}\int^{\infty}_0e^{ax}dx=[\frac{x}{a}e^{ax}-\frac{1}{a^2}e^{ax}]^{\infty}_0 = \lim_{x \to \infty }(\frac{x}{a}e^{ax}-\frac{1}{a^2}e^{ax})+\frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\lim_{x \to \infty}e^{ax}(ax-1)[/tex]
Ok, la oss nå se på [tex]\lim_{x \to \infty}e^{ax}(ax-1)[/tex], vi vet at a er negativ, så la [tex]a=-|a|[/tex]
Det gir oss grenseverdien
[tex]\lim_{x \to \infty}e^{-|a|x}(-|a|x-1) = \lim_{x \to \infty}-\frac{|a|x}{e^{|a|x}}-\frac{1}{e^{|a|x}} \\ = \lim_{x \to \infty}-\frac{1}{\frac{e^{|a|x}}{|a|x}}-\frac{1}{e^{|a|x}} \\ = -(\frac{1}{\frac{\lim_{x \to \infty}e^{|a|x}}{\lim_{x \to \infty}|a|x}} + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{e^{|a|x}}) [/tex]
(l'hôpitals regel)
[tex]= -(\frac{1}{\frac{\lim_{x \to \infty}|a|e^{|a|x}}{|a|}} + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{e^{|a|x}}) \\ = -\lim_{x \to \infty}-2e^{-|a|x}=0[/tex]
Derfor blir
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\lim_{x \to \infty}e^{ax}(ax-1) = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2} \cdot 0=\frac{1}{a^2}[/tex]
Jeg håper det er riktig!
Svaret vil da være:
[tex]\int^{\infty}_0xe^{ax}dx[/tex] vil konvergere dersom [tex]a \ < \ 0[/tex] og verdien vil bli [tex]\frac{1}{a^2}[/tex]
Sist redigert av Charlatan den 07/11-2007 23:22, redigert 3 ganger totalt.
-
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
Ekstra spørsmål:
Hva skjer viss du lar: [tex]x^ne^{ax}[/tex], stå inni integraltegnet?
Hva skjer viss du lar: [tex]x^ne^{ax}[/tex], stå inni integraltegnet?
Helt korrekt Jarle bra!!
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Jepp.. Uendelig/Uendelig eller 0/0
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Jeg har laget et svar på ingentingg sitt spørsmål, jeg lagret det som en pdf-fil. Det ble for uoversiktelig på forumet.
Legger til linken her:
http://www.freewebs.com/jarle10/Filer/U ... tegral.pdf
Legger til linken her:
http://www.freewebs.com/jarle10/Filer/U ... tegral.pdf
Pent.. hvilket program bruker du?
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Takk for info. har prøvd diverse andre TeX programmer uten særlig hell..
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
-
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Bra jobba, Jarle! (Likte spesielt [tex]n\not<0[/tex].)
En alternativ måte å utlede formelen på er å lage en rekursjon: La [tex]I_n = \int_0^\infty x^ne^{-ax}dx[/tex] der a>0 og så bruke delvis integrasjon til å lage en rekursjonsligning.
Hvis vi velger a=1 får vi for øvrig gammafunksjonen.
En alternativ måte å utlede formelen på er å lage en rekursjon: La [tex]I_n = \int_0^\infty x^ne^{-ax}dx[/tex] der a>0 og så bruke delvis integrasjon til å lage en rekursjonsligning.
Hvis vi velger a=1 får vi for øvrig gammafunksjonen.
-
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
Vær litt forsiktig med n<0. Hva skjer viss:
[tex]n = -\frac12 \\ a = -1[/tex]
Med rett substitusjon vil dette gi et kjent integral.
[tex]n = -\frac12 \\ a = -1[/tex]
Med rett substitusjon vil dette gi et kjent integral.
-
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
Nei, men man kan integrere en funksjon som er diskontinuerlig.
Ta integralet fra c til R, og ta grensen når c->0+ og R->uendelig
Ta integralet fra c til R, og ta grensen når c->0+ og R->uendelig