Trenger hjelp med et integral

[Lord X]

Skal finne anti-derivert av:

1/(1+x^2)^2

Noen som kan hjelpe?

[Carve]

Trigonometrisk substitusjon for sqrt(1+x^2)=sec(theta) og tan(theta)=x. Skulle virke tror jeg =)

[Lord X]

Ok, vet ikke om jeg er helt med her. Hvis du skal bruke substitusjon, så setter du u=?

[Janhaa]

Ok, vet ikke om jeg er helt med her. Hvis du skal bruke substitusjon, så setter du u=?

$I=\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{(1+x^2{)}^2}$

mulig substitusjonen hans funker...hakke prøvd, men denne funker...

sett u = arctan(x) og x = tan(u)

og $\mathrm{d}\mathrm{u}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{1+x^2}$

slik at:

$I=\int {\cos }^2(u)\mathrm{d}\mathrm{u}$

denne er grei å integrere, men husk å tilbakesubstituere til x igjen til slutt...

[fish]

For moro skyld kan det jo også nevnes at delbrøkoppspalting er et reelt (for ikke å si komplekst) alternativ:

$\frac{1}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1}{((x+i)(x-i){)}^2}=\frac{1}{(x+i{)}^2(x-i{)}^2}=\frac{A}{x+i}+\frac{B}{(x+i{)}^2}+\frac{C}{x-i}+\frac{D}{(x-i{)}^2}$

Vanlig regning gir $A=\frac{1}{4}i$, $B=-\frac{1}{4}$, $C=-\frac{1}{4}i$ og $D=-\frac{1}{4}$.

Når vi så integrerer, får vi

$\int \frac{1}{(1+x^2{)}^2}dx=\frac{\frac{1}{4}}{x+i}+\frac{\frac{1}{4}}{x-i}+\frac{i}{4}\ln (x+i)-\frac{i}{4}\ln (x-i)+C$

Vi har $\frac{\frac{1}{4}}{x+i}+\frac{\frac{1}{4}}{x-i}=\frac{\frac{1}{2}x}{1+x^2}$ og

$\ln (x-i)=|x-i|+i\arg (x-i)=|x-i|-i\arctan (1/x)$
og
$\ln (x+i)=|x+i|+i\arg (x+i)=|x+i|+i\arctan (1/x)$

Siden $|x+i|=|x-i|$, følger at $\frac{i}{4}\ln (x+i)-\frac{i}{4}\ln (x-i)=-\frac{1}{2}\arctan (1/x)$

Totalt får vi derfor

$\int \frac{1}{(1+x^2{)}^2}dx=\frac{\frac{1}{2}x}{x^2+1}-\frac{1}{2}\arctan (1/x)+C$

Så hører det med at $\arctan (1/x)=\frac{\pi }{2}-\arctan x$ om man vil gå enda et skritt videre.

[Brulle]

Når vi først er inne på integraler her, så har jeg et som jeg lurer litt på:

[symbol:integral] e^(-x^2)dx.

Dette skal evalures i området - [symbol:uendelig] til [symbol:uendelig] .

Håper noen kan hjelpe meg!

[fish]

Dette integralet er behandlet i forumet for en stund siden, men jeg husker ikke når og av hvem. Hovedideen er å beregne

${\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx\right)}^2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx\cdot {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy$

Innfør så polare koordinater og integralet lar seg løse.