Skal finne anti-derivert av:
1/(1+x^2)^2
Noen som kan hjelpe?
Trenger hjelp med et integral
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]I=\int \frac{{\rm dx}}{(1+x^2)^2}[/tex]Lord X skrev:Ok, vet ikke om jeg er helt med her. Hvis du skal bruke substitusjon, så setter du u=?
mulig substitusjonen hans funker...hakke prøvd, men denne funker...
sett u = arctan(x) og x = tan(u)
og [tex]\;{\rm du}=\frac{{\rm dx}}{1+x^2}[/tex]
slik at:
[tex]I=\int \cos^2(u) {\rm du}[/tex]
denne er grei å integrere, men husk å tilbakesubstituere til x igjen til slutt...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
For moro skyld kan det jo også nevnes at delbrøkoppspalting er et reelt (for ikke å si komplekst) alternativ:
[tex]\frac{1}{(1+x^2)^2}=\frac{1}{((x+i)(x-i))^2}=\frac{1}{(x+i)^2(x-i)^2}=\frac{A}{x+i}+\frac{B}{(x+i)^2}+\frac{C}{x-i}+\frac{D}{(x-i)^2}[/tex]
Vanlig regning gir [tex]A=\frac{1}{4}i[/tex], [tex]B=-\frac{1}{4}[/tex], [tex]C=-\frac{1}{4}i[/tex] og [tex]D=-\frac{1}{4}[/tex].
Når vi så integrerer, får vi
[tex]\int\frac{1}{(1+x^2)^2}\;dx=\frac{\frac{1}{4}}{x+i}+\frac{\frac{1}{4}}{x-i}+\frac{i}{4}\ln(x+i)-\frac{i}{4}\ln(x-i)+C[/tex]
Vi har [tex]\frac{\frac{1}{4}}{x+i}+\frac{\frac{1}{4}}{x-i}=\frac{\frac{1}{2}x}{1+x^2}[/tex] og
[tex]\ln(x-i)=|x-i|+i\arg(x-i)=|x-i|-i\arctan (1/x)[/tex]
og
[tex]\ln(x+i)=|x+i|+i\arg(x+i)=|x+i|+i\arctan (1/x)[/tex]
Siden [tex]|x+i|=|x-i|[/tex], følger at [tex]\frac{i}{4}\ln(x+i)-\frac{i}{4}\ln(x-i)=-\frac{1}{2}\arctan(1/x)[/tex]
Totalt får vi derfor
[tex]\int\frac{1}{(1+x^2)^2}\;dx=\frac{\frac{1}{2}x}{x^2+1}-\frac{1}{2}\arctan(1/x)+C[/tex]
Så hører det med at [tex]\arctan(1/x)=\frac{\pi}{2}-\arctan x[/tex] om man vil gå enda et skritt videre.
[tex]\frac{1}{(1+x^2)^2}=\frac{1}{((x+i)(x-i))^2}=\frac{1}{(x+i)^2(x-i)^2}=\frac{A}{x+i}+\frac{B}{(x+i)^2}+\frac{C}{x-i}+\frac{D}{(x-i)^2}[/tex]
Vanlig regning gir [tex]A=\frac{1}{4}i[/tex], [tex]B=-\frac{1}{4}[/tex], [tex]C=-\frac{1}{4}i[/tex] og [tex]D=-\frac{1}{4}[/tex].
Når vi så integrerer, får vi
[tex]\int\frac{1}{(1+x^2)^2}\;dx=\frac{\frac{1}{4}}{x+i}+\frac{\frac{1}{4}}{x-i}+\frac{i}{4}\ln(x+i)-\frac{i}{4}\ln(x-i)+C[/tex]
Vi har [tex]\frac{\frac{1}{4}}{x+i}+\frac{\frac{1}{4}}{x-i}=\frac{\frac{1}{2}x}{1+x^2}[/tex] og
[tex]\ln(x-i)=|x-i|+i\arg(x-i)=|x-i|-i\arctan (1/x)[/tex]
og
[tex]\ln(x+i)=|x+i|+i\arg(x+i)=|x+i|+i\arctan (1/x)[/tex]
Siden [tex]|x+i|=|x-i|[/tex], følger at [tex]\frac{i}{4}\ln(x+i)-\frac{i}{4}\ln(x-i)=-\frac{1}{2}\arctan(1/x)[/tex]
Totalt får vi derfor
[tex]\int\frac{1}{(1+x^2)^2}\;dx=\frac{\frac{1}{2}x}{x^2+1}-\frac{1}{2}\arctan(1/x)+C[/tex]
Så hører det med at [tex]\arctan(1/x)=\frac{\pi}{2}-\arctan x[/tex] om man vil gå enda et skritt videre.
Dette integralet er behandlet i forumet for en stund siden, men jeg husker ikke når og av hvem. Hovedideen er å beregne
[tex]\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{x^2}{2}}\;dx\right)^2=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}\;dx\cdot\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}}\;dy=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\;dx dy[/tex]
Innfør så polare koordinater og integralet lar seg løse.
[tex]\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{x^2}{2}}\;dx\right)^2=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}\;dx\cdot\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}}\;dy=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\;dx dy[/tex]
Innfør så polare koordinater og integralet lar seg løse.