Integrasjontrening for VGS-elever

[Olorin]

Fant et titalls integrasjonsoppgaver fra videregående som var ment som ekstratrening eller for de spesielt interesserte.

Her kan VGS-elever i alle trinn prøve seg på disse ettersom vanskelighetsgraden er varierende. En fin mulighet til å stramme seg opp i integrasjon og få pussa opp litt etter alt hjernesvinnet fra romjulsfestinga.

[tex]I_1=\int(x^2+3)^5x \rm{d}x[/tex]

[tex]I_2 =\int\(\sqr{x^2+9}\cdot 3x)\ \rm{d}x[/tex]

[tex]I_3 =\int\frac{2x}{x^2-3x+2}\rm{d}x[/tex]

[tex]I_4 =\int \frac{e^{\sqr{x}}}{\sqr{x}} \rm{d}x[/tex]

[tex]I_5 =\int2\tan^2(x) \rm{d}x\,\,\,\,\,\,\,\, I_6=\int \cos^2(x) \rm{d}x\,\,\,\,\,\,\,\, I_7=\int \sin^2(x) \rm{d}x [/tex]

[tex]I_8=\int \frac{x^3+x^2-x}{x^2}\rm{d}x[/tex]

[tex]I_9=\int \ln(x)\rm{d}x[/tex]

[tex]I_{10}=\int \frac3{2^x}\rm{d}x[/tex]

[tex]I_{11}=\int x^2\sqr{x}\rm{d}x[/tex]

[tex]I_{12}=\int \frac1{\tan(x)}\rm{d}x[/tex]

Lykke til

[Charlatan]

Hm, finnes det noen enkel løsning på [tex]I_3[/tex] uten brøkoppspalting?

[zell]

Kan ikke se noen effektiv måte utenom delbrøksoppspalting, men den kan jo forenkles litt.

[tex]I_3 = \int\frac{2(x-1)+2}{(x-2)(x-1)}\rm{d}x = 2\int\frac{1}{x-2}\rm{d}x + 2\int\frac{1}{(x-2)(x-1)}\rm{d}x = 2\int\frac{\rm{d}u}{u} + 2\int\frac{\rm{d}u}{u(u-1)} \\ \text{Hvor} \ u = x-2[/tex]

[Charlatan]

Kommer vel ikke så langt her heller uten delbrøkoppspalting?

Tror de fleste som ikke kan delbrøkoppspalting (Det er ikke videregående pensum for øyeblikket) ville hatt problemer med dette integralet.

[zell]

Må anvende delbrøksoppspaltning til syvende og sist ja. Så er enig med deg, i og med at det ikke er pensum for øyeblikket.

[daofeishi]

Den kan også løses uten delbrøkoppspaltning:
[tex]\int \frac{2x}{x^2 - 3x +2} \rm{d}x = \int \left( \frac{2x-3}{x^2 - 3x +2} + \frac{3}{x^2 - 3x +2} \right) \rm{d}x = \ln|x^2-3x+2| + \int \frac{3}{(x-\frac 3 2)^2 - \frac 1 4} \rm{d}x \\ = \ln|x^2-3x+2| -12\rm{arctanh} (x- \frac{3}{2}) + C[/tex]

... Men det er vel fremdeles ikke ordinært vgs-pensum.

[Charlatan]

Er [tex]\arctan h(x) = \frac{1}{2}(\ln(x+1)-\ln(1-x))[/tex] ?

[daofeishi]

Det stemmer det Det er den inverse funksjonen til tangens hyperbolikus.

[Mari89]

Fikk lyst til å prøve på et par...

[tex]\int(x^2+3)^5xdx=\frac{1}{2}\int (x^2+3)^52xdx=\frac{1}{2}\int u^5u^{\prime}dx=\frac{1}{2}\int u^5du=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5+1}u^{5+1}+C=\frac{1}{12}(x^2+3)^6+C [/tex]

[tex]\int(sqrt{x^2+9}\cdot 3x)dx=\frac{3}{2}\int 2x\sqrt{x^2+9}dx=\frac{3}{2}\int u^{\prime}\sqrt{u}dx=\frac{3}{2}\int\sqrt{u}du=\frac{3}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}+1}u^{\frac{1}{2}+1}+C=\frac{3}{2\cdot\frac{3}{2}}u^{\frac{3}{2}}+C=u^{\frac{3}{2}}+C=(x^2+9)^{\frac{3}{2}}+C[/tex]

[tex]\int\frac{e^{sqrt{x}}}{sqrt{x}}dx=\int x^{-\frac{1}{2}}e^x^{\frac{1}{2}}dx=2\int u^{\prime}e^udx=2\int e^udu=2e^{sqrt{x}}+C[/tex]

[espen180]

Integral 12:

[tex]I_{12}=\int\frac{1}{tan\,x}\rm{d}x=\int\frac{cos(x)}{sin(x)}\rm{d}x \\ u=sin\,x \\ \rm{d}u=cos\,x\,\rm{d}x \\ I_{12}=\int\frac{1}{u}\rm{d}u=\ln|u|+C \\ I_{12}=\underline{\underline{I_{12}=\ln|sin\,x|+C}}[/tex]

EDIT:
La til konstanten C.

[lodve]

Integrasjon, er det pensum for tredjeklasse? Har r1-boka foran meg og finner ingenting om integrasjon (hvis ikke navnet er endret).

[Emilga]

Integrasjon begynner ikke før R2.

[Mari89]

[tex]\int 2tan^2xdx=2\int\frac{sin^2x}{cos^2x}dx=2\int sin^2x \cdot \frac{1}{cos^2x}dx=-2\int u^{\prime}\cdot \frac{1}{u}dx=-2\int \frac{1}{u}du=-2ln|u|+C=-2ln|cosx|+C[/tex]

[tex]\int cos^2xdx=\frac{1}{2}\int(cos(2x)+1)dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}sin(2x)+\frac{1}{2}x+C=\frac{1}{4}sin(2x)+\frac{1}{2}x+C=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}sin(2x)+x)+C[/tex]

[tex]\int sin^2xdx=\frac{1}{2}\int(1-cos(2x))dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}sin(2x)+C=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}sin(2x))+C [/tex]

Kan dette stemme? Får litt andre svar av integrasjonmaskinen, men det kommer jo sikkert også litt an på hvilken metode man bruker.

[tex]\int lnxdx=\int 1\cdot lnx dx[/tex]
u=ln x , v'=1 , u'=1/x og v=x

[tex]\int lnxdx=xlnx-\int \frac{1}{x}\cdot xdx=xlnx-\int dx=xlnx-x+C=x(lnx-1)+C[/tex]

[Janhaa]

[tex]\int 2tan^2xdx=2\int\frac{sin^2x}{cos^2x}dx=2\int sin^2x \cdot \frac{1}{cos^2x}dx=-2\int u^{\prime}\cdot \frac{1}{u}dx=-2\int \frac{1}{u}du=-2ln|u|+C=-2ln|cosx|+C[/tex]
Kan dette stemme? Får litt andre svar av integrasjonmaskinen, men det kommer jo sikkert også litt an på hvilken metode man bruker.

Nr 2, 3 og 4 ser bra ut. Integralet over er feil. Skal vise en lur måte å løse dette på:

vi veit at: [tex]\,\,(\tan(x))^,=1\,+\,\tan^2(x)[/tex]
integrer så begge sider, slik at:

[tex]2\int (\tan(x))^,\,{\rm dx}=2\int (1\,+\,\tan^2(x))\,{\rm dx}[/tex]

[tex]2\tan(x)=2\int {\rm dx}\,+\,2\int \tan^2(x) {\rm dx}[/tex]

[tex]2\int \tan^2(x)\,{\rm dx}=2(\tan(x)\,-\,x)\,+\,C[/tex]

[Mari89]

Ah, så lurt! Hadde ikke greid å tenke ut det sjøl. Takk skal du ha