Eksakte trigonometriske verdier i en firkant

[doktoren]

Sitter litt fast midt i oppgaven 2.41

I ABCD er
A= 90 B=135 C=60

AB=3 AD=3

a) Finn vinkel D

Denne er grei, svaret blir 75grader

b) Finn den eksakte lengden av BD

Denne var også ganske grei. Her brukte jeg pytagoras setning, fikk
[symbol:rot] 18 og forkortet til 3 [symbol:rot] 2

c) Finn de eksakte lengdene av BC og CD

Denne var litt verre, det jeg vet om trekanten BCD er at vinkel BCD er 60 og at BD er 3 [symbol:rot] 2... Og da sitter jeg litt fast. Prøvde å bruke sinus setningen for å finne flere lengden på en av sidene men det funket dårlig. Noen tips til hvordan jeg kan komme meg videre?

[Zivert]

Hei, du får en 30,60,90 trekant (BCD) der du vet at CD=2BC.
Bruk pytagoras!

[doktoren]

Føler meg skikkelig dum nå men hvordan vet du at det er en 30 60 90 trekant?

Tenkte at det kunne være det men har ikke peiling på hvordan.

[Realist1]

Vinkel D = 75 grader.
Trekant ABD er likebeint og har således to vinkler på 45*. Derfor er vinkel CDB lik 30*. Da har du vinklene 30* og 60*, og den siste må derfor være 90*. (i trekant BCD)

Tror dette skal være riktig?

[doktoren]

Det ser veldig ut som om det er en likebenet trekant ABD, men siden linjen BD kutter midt i vinklene B og D klarer jeg ikke se for meg hvordan jeg kan regne ut at det er en likebenet trekant med andre virkemidler enn øyemål, og det blir vel litt feil i matematikken:D

[Realist1]

AB = 3
AD = 3
Derfor er ABD likebeint.

[doktoren]

selvfølgelig, du kan det å sette ting på spissen hehe. Begynner å mistenke at jeg ikke mer ment for matte:P

takk takk:D

[doktoren]

Jeg tegnet opp den nye trekanten, 90 60 30, hvor BD er 3 [symbol:rot] 2 og prøde så å finne ut BC, og CD. Jeg tenkte at det ville være nklest å finne ut hypotenusen CD først og brukte sinussetningen til å å skrive:

CD=3 [symbol:rot] 2 / ( [symbol:rot]3 / 2)

Er jeg på villspor? for jeg kommer frem til helt feile spor her, jeg ganger med to i teller og nevner og får 6 [symbol:rot] 2 / [symbol:rot] 3 og her stopper jeg opp. fasiten skal være 2 [symbol:rot] 6

[doktoren]

Jeg har nå en 90 60 30 trekant BCD hvor BD er 3 [symbol:rot] 2 lang.

Prøvde igjen med Cosinus formelen og fikk Hypotenusen alene:

hyp= hos/cos=(3 [symbol:rot] 2)/( [symbol:rot] 3/2)

Hvis dette er rett skal det gå ann å forkorte brøken itil å bli 2 [symbol:rot] 6.
Hvordan gjøres dette? Finner ingen regler om dette noensted

[Realist1]

Dette er egentlig over mitt nivå, men jeg prøver ...
Husker ikke hvordan jeg gjorde det første gangen (mener jeg brukte trigonometriske funksjoner da), men nå gjorde jeg det helt annerledes, men det kan godt væære jeg er helt ute på viddene jeg også.

[tex]\angle{DBC}=135 ^o - 45 ^o = 90 ^o \\ \text{\Delta BCD er en 30, 60, 90-trekant}[/tex]

Tegnet opp en 30,60,90-trekant i større skala, så det ble lettere for meg å se. Her hadde jeg:
BD = den lengste kateten = [tex]3\sqrt{2}[/tex]
BC = den korteste kateten = [tex]x[/tex]
CD = hypotenusen = [tex]2x[/tex]

Satte opp en ligning og regnet ut:
[tex](2x)^2-x^2 = 3 \sqrt 2 \\ 3x^2 = 3 \sqrt 2 \\ x^2 = \sqrt 2 \\ x = \sqrt[4]{2}[/tex]
Den kortesten kateten, BC, er da fjerderoten av 2, eller kvadratroten av kvadratroten av 2.
[tex]CD = 2 \sqrt[4]{2}[/tex]
Fordi hypotenusen er dobbelt så lang som den korteste kateten.
Er jeg helt på viddene her, eller kan dette stemme?

[Realist1]

Satte opp en ligning og regnet ut:
[tex](2x)^2-x^2 = 3 \sqrt 2 \\ 3x^2 = 3 \sqrt 2 \\ x^2 = \sqrt 2 \\ x = \sqrt[4]{2}[/tex]
Den kortesten kateten, BC, er da fjerderoten av 2, eller kvadratroten av kvadratroten av 2.
[tex]CD = 2 \sqrt[4]{2}[/tex]
Fordi hypotenusen er dobbelt så lang som den korteste kateten.
Er jeg helt på viddene her, eller kan dette stemme?

Ser allerede at jeg gjorde en feil der. Glemte å kvadrere den siste kateten. Da blir det ... hm ...

[tex](2x)^2-x^2 = (3 \sqrt 2)^2 \\ 3x^2 = 18 \\ x^2 = 6 \\ x = \sqrt{6}[/tex]
Altså er den korteste kateten [tex]\sqrt 6[/tex] mens hypotenusen er [tex]2 \sqrt 6[/tex]?

Ble det mer riktig?

Edit: Er det forresten bedre å bruke [tex]\sqrt 2 \cdot \sqrt 3[/tex] eller [tex]\sqrt{2 \cdot 3}[/tex] enn [tex]\sqrt 6[/tex]?

[Vektormannen]

Læreren har sagt til oss at det bare er interessant å forenkle rotuttrykkene når det er mulig å sette kvadratiske faktorer utenfor. Men det var kanskje hans subjektive mening.