Oppgave 6.12
Funksjonen f er gitt ved [tex] f(x)=\ \frac{2x^3-6x^2+4x}{x^2-3x+2}[/tex]
Finn grenseverdien.
a) [tex]\lim {f(x)}_{ x\rightarrow 1} [/tex]
Kan noen faktorisere telleren?
Grenseverdier
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
I telleren er det en tredjegradsformel,x= 0 trenger jeg ikke å ta med.
Helt enig,jeg trenger bare å løse det som en andregradslikning når jeg har forkortet tredjegradslikning til en andregradslikning for da får jeg x verdiene 2 og 1.
Altså;
[tex]lim_{x \rightarrow 1}{\frac {2x(x^2-3x+2)}{(x-2)(x-1)}}=lim_{x \rightarrow 1}{\frac{2x(x-2)(x-1)}{(x-2)(x-1)}=2[/tex]
Takk for hjelpen.
Foresten l`hospitals formel er den enkleste til å løse grenseverdiene,for der trenger du bare å derivere uttrykkene i telleren og neveneren så setter du inn det tallet som fra lim går til.![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
Helt enig,jeg trenger bare å løse det som en andregradslikning når jeg har forkortet tredjegradslikning til en andregradslikning for da får jeg x verdiene 2 og 1.
Altså;
[tex]lim_{x \rightarrow 1}{\frac {2x(x^2-3x+2)}{(x-2)(x-1)}}=lim_{x \rightarrow 1}{\frac{2x(x-2)(x-1)}{(x-2)(x-1)}=2[/tex]
Takk for hjelpen.
Foresten l`hospitals formel er den enkleste til å løse grenseverdiene,for der trenger du bare å derivere uttrykkene i telleren og neveneren så setter du inn det tallet som fra lim går til.
![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
Man kan vel vise den gennerelle grenseverdien:
[tex]\lim_{t\rightarrow0}(1+nt)^{\frac{1}{t}}=e^n [/tex]
For alle reelle tall n
Du har at:
[tex](1+nt)^{\frac{1}{t}}=e^{ln(1+nt)^{\frac{1}{t}}}=e^{{\frac{1}{t}}ln(1+nt)}[/tex]
Siden[tex]e^x[/tex]er kontinuelig for alle reelle [tex]x[/tex] har vi at [tex]\lim_{x\rightarrow{k}}e^{f(x)}=e^{\lim_{x\rightarrow{k}}f(x)}[/tex] altså:
[tex]\lim_{t\rightarrow0}(1+nt)^{\frac{1}{t}}=e^{\lim_{t\rightarrow0}{\frac{1}{t}}ln(1+nt)}[/tex],
[tex]\lim_{t\rightarrow0}{\frac{ln(1+nt)}{t}}=\lim_{t\rightarrow0}{\frac{{\frac{1}{1+nt}}\cdot{n}}{1}}=n[/tex]
Her brukte jeg L'Hopitals regel, og vi har kommet fram til det ønskede svaret
.
I ditt tilfelle var [tex]n={\frac{1}{2}}[/tex]
Etter min oppfattning er begrunnelsen for grenseverdien egenskapene til [tex]ln[/tex] funksjonen og L'Hopitals lov for grenseverdier.
[tex]\lim_{t\rightarrow0}(1+nt)^{\frac{1}{t}}=e^n [/tex]
For alle reelle tall n
Du har at:
[tex](1+nt)^{\frac{1}{t}}=e^{ln(1+nt)^{\frac{1}{t}}}=e^{{\frac{1}{t}}ln(1+nt)}[/tex]
Siden[tex]e^x[/tex]er kontinuelig for alle reelle [tex]x[/tex] har vi at [tex]\lim_{x\rightarrow{k}}e^{f(x)}=e^{\lim_{x\rightarrow{k}}f(x)}[/tex] altså:
[tex]\lim_{t\rightarrow0}(1+nt)^{\frac{1}{t}}=e^{\lim_{t\rightarrow0}{\frac{1}{t}}ln(1+nt)}[/tex],
[tex]\lim_{t\rightarrow0}{\frac{ln(1+nt)}{t}}=\lim_{t\rightarrow0}{\frac{{\frac{1}{1+nt}}\cdot{n}}{1}}=n[/tex]
Her brukte jeg L'Hopitals regel, og vi har kommet fram til det ønskede svaret
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
I ditt tilfelle var [tex]n={\frac{1}{2}}[/tex]
Etter min oppfattning er begrunnelsen for grenseverdien egenskapene til [tex]ln[/tex] funksjonen og L'Hopitals lov for grenseverdier.
Sist redigert av Zivert den 23/02-2008 23:27, redigert 1 gang totalt.
Ok,dette er bra forklart.
Når h går mot null, går t også mot null, dermed;
[tex]t=k \cdot h[/tex]er[tex]\frac{t}{h}=k[/tex].
Det gir[tex]{\frac{1}{h}}={\frac{k}{t}}[/tex]
Vi setter inn og får ;
[tex]\lim_{h \rightarrow 0}(1+k \cdot h)^{\frac{1}{h}}=\lim_{t \rightarrow 0}(1+t)^{\frac{k}{t}}=\lim_{t \rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}{\cdot k}=\lim_{t \rightarrow 0}((1+t)^{\frac{1}{t}})^k=(\lim_{t \rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}})^k=e^k[/tex]
Da løser jeg;
[tex]\lim_{t \rightarrow 0}(1+{\frac{t}{2}})=\lim_{t \rightarrow 0}({\frac{t}{2}})^{\frac{1}{t}}=\lim_{t \rightarrow 0}({\frac{t}{2}})={\frac{t}{2}}=e^{\frac{t}{2}}=1,64[/tex]![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
Når h går mot null, går t også mot null, dermed;
[tex]t=k \cdot h[/tex]er[tex]\frac{t}{h}=k[/tex].
Det gir[tex]{\frac{1}{h}}={\frac{k}{t}}[/tex]
Vi setter inn og får ;
[tex]\lim_{h \rightarrow 0}(1+k \cdot h)^{\frac{1}{h}}=\lim_{t \rightarrow 0}(1+t)^{\frac{k}{t}}=\lim_{t \rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}{\cdot k}=\lim_{t \rightarrow 0}((1+t)^{\frac{1}{t}})^k=(\lim_{t \rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}})^k=e^k[/tex]
Da løser jeg;
[tex]\lim_{t \rightarrow 0}(1+{\frac{t}{2}})=\lim_{t \rightarrow 0}({\frac{t}{2}})^{\frac{1}{t}}=\lim_{t \rightarrow 0}({\frac{t}{2}})={\frac{t}{2}}=e^{\frac{t}{2}}=1,64[/tex]
![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
magneam skrev:Kan gi et lite tips:
Ser du at
[tex] \lim_{t\rightarrow 0}(1+{\frac{t}{2}})^ {\frac{1}{t}} = \lim_{t\rightarrow 0} e^{ln(1+{\frac{t}{2}})^ {\frac{1}{t}}} [/tex] ?
Kommer du noe videre nå? Husk logaritmeregler
[tex]\lim_{t \rightarrow 0} e^{(0+{\frac{t}{2}})^{\frac{1}{t}}=\lim_{t \rightarrow 0}e^{\frac {t}{2}}=e^{\frac {1}{2}}=1,64 [/tex] ?
Her skjønner jeg ikke hva du har gjort. Hvor ble det av ln ?scofield skrev: [tex]\lim_{t \rightarrow 0} e^{(0+{\frac{t}{2}})^{\frac{1}{t}}=\lim_{t \rightarrow 0}e^{\frac {t}{2}}=e^{\frac {1}{2}}=1,64 [/tex] ?
[tex] \lim_{t \rightarrow 0} e^{ln(1+{\frac{t}{2}})^{\frac{1}{t}} = \lim_{t \rightarrow 0} e^{\frac{1}{t} ln(1+{\frac{t}{2}}) [/tex]
Som Zivert sa, har vi at [tex] e^x [/tex] er kontinuerlig for alle x. Dermed kan vi nøye oss med å kun se på grenseverdien til e sin eksponent. Når vi har funnet denne, må vi huske å sette den tilbake i eksponenten. Altså, regn ut denne:
[tex] \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} ln(1+{\frac{t}{2}}) [/tex].
Og dersom denne grenseverdien går mot et punkt a, blir den opprinnelige grenseverdien [tex] e^a [/tex].
Kommer du videre?
Ok da blir det, [tex] \lim_{t \rightarrow 0} e^{ln(1+{\frac{t}{2}})^{\frac{1}{t}} }= \lim_{t \rightarrow 0} e^{\frac{1}{t} ln(1+{\frac{t}{2}}) }=e^{\frac{1}{2}}=1,64 [/tex]
EDIT: Korrigert
EDIT: Korrigert
Sist redigert av Wentworth den 24/02-2008 22:46, redigert 1 gang totalt.
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Hvis t går mot 0 så går t/2 mot 0/2 = 0, ikke 1/2...
Edit: og hvordan får du forresten t/2 egentlig?
Edit: og hvordan får du forresten t/2 egentlig?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Har rettet,men gjentar;
Altså;
[tex]\lim_{t\rightarrow 0}(1+{\frac{t}{2}})^ {\frac{1}{t}}=\lim_{t \rightarrow 0} e^{ln(1+{\frac{t}{2}})^{\frac{1}{t}} }= \lim_{t \rightarrow 0} e^{\frac{1}{t} ln(1+{\frac{t}{2}}) }=e^{\frac{1}{2}}=1,64[/tex]![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
![Razz :P](./images/smilies/icon_razz.gif)
Altså;
[tex]\lim_{t\rightarrow 0}(1+{\frac{t}{2}})^ {\frac{1}{t}}=\lim_{t \rightarrow 0} e^{ln(1+{\frac{t}{2}})^{\frac{1}{t}} }= \lim_{t \rightarrow 0} e^{\frac{1}{t} ln(1+{\frac{t}{2}}) }=e^{\frac{1}{2}}=1,64[/tex]
![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Du bør vel strengt tatt vise at [tex]\lim_{t \to 0} \frac{1}{t}\ln(1+\frac{t}{2}) = \frac{1}{2}[/tex] da ...
Elektronikk @ NTNU | nesizer