Grenseverdier

[Wentworth]

Oppgave 6.12

Funksjonen f er gitt ved [tex] f(x)=\ \frac{2x^3-6x^2+4x}{x^2-3x+2}[/tex]

Finn grenseverdien.

a) [tex]\lim {f(x)}_{ x\rightarrow 1} [/tex]


Kan noen faktorisere telleren?

[Erniac]

x= 0, 1 og 2. Så bruker du faktoriseringsformelen.


edit : polynomdivisjon er bedre egnet, del med x-1

[Doffen]

Sett [tex]2x[/tex] utenfor, og faktoriser andregradsuttrykket du sitter igjen med. Da får du svaret på null komma niks

edit: Du trenger ikke å faktorisere i det hele tatt, bortsett fra å sette [tex]2x[/tex] utenfor i telleren.

[Wentworth]

I telleren er det en tredjegradsformel,x= 0 trenger jeg ikke å ta med.

Helt enig,jeg trenger bare å løse det som en andregradslikning når jeg har forkortet tredjegradslikning til en andregradslikning for da får jeg x verdiene 2 og 1.

Altså;

[tex]lim_{x \rightarrow 1}{\frac {2x(x^2-3x+2)}{(x-2)(x-1)}}=lim_{x \rightarrow 1}{\frac{2x(x-2)(x-1)}{(x-2)(x-1)}=2[/tex]

Takk for hjelpen.

Foresten l`hospitals formel er den enkleste til å løse grenseverdiene,for der trenger du bare å derivere uttrykkene i telleren og neveneren så setter du inn det tallet som fra lim går til.

[Wentworth]

Kan noen forklare meg hvorfor;

[tex]\lim_{t\rightarrow 0}(1+{\frac{t}{2}})^ {\frac{1}{t}}=sqrt e[/tex]

Setter stor pris på svar ,håper ekspertene her forklarer med et bredt utdypelse.

På forhånd takk!

[magneam]

Kan gi et lite tips:
Ser du at
[tex] \lim_{t\rightarrow 0}(1+{\frac{t}{2}})^ {\frac{1}{t}} = \lim_{t\rightarrow 0} e^{ln(1+{\frac{t}{2}})^ {\frac{1}{t}}} [/tex] ?

Kommer du noe videre nå? Husk logaritmeregler

[Zivert]

Man kan vel vise den gennerelle grenseverdien:
[tex]\lim_{t\rightarrow0}(1+nt)^{\frac{1}{t}}=e^n [/tex]
For alle reelle tall n
Du har at:
[tex](1+nt)^{\frac{1}{t}}=e^{ln(1+nt)^{\frac{1}{t}}}=e^{{\frac{1}{t}}ln(1+nt)}[/tex]
Siden[tex]e^x[/tex]er kontinuelig for alle reelle [tex]x[/tex] har vi at [tex]\lim_{x\rightarrow{k}}e^{f(x)}=e^{\lim_{x\rightarrow{k}}f(x)}[/tex] altså:
[tex]\lim_{t\rightarrow0}(1+nt)^{\frac{1}{t}}=e^{\lim_{t\rightarrow0}{\frac{1}{t}}ln(1+nt)}[/tex],
[tex]\lim_{t\rightarrow0}{\frac{ln(1+nt)}{t}}=\lim_{t\rightarrow0}{\frac{{\frac{1}{1+nt}}\cdot{n}}{1}}=n[/tex]
Her brukte jeg L'Hopitals regel, og vi har kommet fram til det ønskede svaret .
I ditt tilfelle var [tex]n={\frac{1}{2}}[/tex]

Etter min oppfattning er begrunnelsen for grenseverdien egenskapene til [tex]ln[/tex] funksjonen og L'Hopitals lov for grenseverdier.

[Zivert]

Jaja, dette var nok mer enn et tips

[Wentworth]

Ok,dette er bra forklart.


Når h går mot null, går t også mot null, dermed;

[tex]t=k \cdot h[/tex]er[tex]\frac{t}{h}=k[/tex].


Det gir[tex]{\frac{1}{h}}={\frac{k}{t}}[/tex]

Vi setter inn og får ;

[tex]\lim_{h \rightarrow 0}(1+k \cdot h)^{\frac{1}{h}}=\lim_{t \rightarrow 0}(1+t)^{\frac{k}{t}}=\lim_{t \rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}{\cdot k}=\lim_{t \rightarrow 0}((1+t)^{\frac{1}{t}})^k=(\lim_{t \rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}})^k=e^k[/tex]

Da løser jeg;

[tex]\lim_{t \rightarrow 0}(1+{\frac{t}{2}})=\lim_{t \rightarrow 0}({\frac{t}{2}})^{\frac{1}{t}}=\lim_{t \rightarrow 0}({\frac{t}{2}})={\frac{t}{2}}=e^{\frac{t}{2}}=1,64[/tex]

[Wentworth]

Kan gi et lite tips:
Ser du at
[tex] \lim_{t\rightarrow 0}(1+{\frac{t}{2}})^ {\frac{1}{t}} = \lim_{t\rightarrow 0} e^{ln(1+{\frac{t}{2}})^ {\frac{1}{t}}} [/tex] ?

Kommer du noe videre nå? Husk logaritmeregler

[tex]\lim_{t \rightarrow 0} e^{(0+{\frac{t}{2}})^{\frac{1}{t}}=\lim_{t \rightarrow 0}e^{\frac {t}{2}}=e^{\frac {1}{2}}=1,64 [/tex] ?

[magneam]

[tex]\lim_{t \rightarrow 0} e^{(0+{\frac{t}{2}})^{\frac{1}{t}}=\lim_{t \rightarrow 0}e^{\frac {t}{2}}=e^{\frac {1}{2}}=1,64 [/tex] ?

Her skjønner jeg ikke hva du har gjort. Hvor ble det av ln ?

[tex] \lim_{t \rightarrow 0} e^{ln(1+{\frac{t}{2}})^{\frac{1}{t}} = \lim_{t \rightarrow 0} e^{\frac{1}{t} ln(1+{\frac{t}{2}}) [/tex]

Som Zivert sa, har vi at [tex] e^x [/tex] er kontinuerlig for alle x. Dermed kan vi nøye oss med å kun se på grenseverdien til e sin eksponent. Når vi har funnet denne, må vi huske å sette den tilbake i eksponenten. Altså, regn ut denne:

[tex] \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} ln(1+{\frac{t}{2}}) [/tex].

Og dersom denne grenseverdien går mot et punkt a, blir den opprinnelige grenseverdien [tex] e^a [/tex].

Kommer du videre?

[Wentworth]

Ok da blir det, [tex] \lim_{t \rightarrow 0} e^{ln(1+{\frac{t}{2}})^{\frac{1}{t}} }= \lim_{t \rightarrow 0} e^{\frac{1}{t} ln(1+{\frac{t}{2}}) }=e^{\frac{1}{2}}=1,64 [/tex]

EDIT: Korrigert

[Vektormannen]

Hvis t går mot 0 så går t/2 mot 0/2 = 0, ikke 1/2...

Edit: og hvordan får du forresten t/2 egentlig?

[Wentworth]

Har rettet,men gjentar;

Altså;

[tex]\lim_{t\rightarrow 0}(1+{\frac{t}{2}})^ {\frac{1}{t}}=\lim_{t \rightarrow 0} e^{ln(1+{\frac{t}{2}})^{\frac{1}{t}} }= \lim_{t \rightarrow 0} e^{\frac{1}{t} ln(1+{\frac{t}{2}}) }=e^{\frac{1}{2}}=1,64[/tex]

[Vektormannen]

Du bør vel strengt tatt vise at [tex]\lim_{t \to 0} \frac{1}{t}\ln(1+\frac{t}{2}) = \frac{1}{2}[/tex] da ...