Parametervektor, lengde på bue

[Rickman]

En ball kastes fra en hånd 2m over bakken, og posisjonen til ballen er tilnærmet gitt ved parameterfremstillingen;

--> r(t) = [12t, 2+9t-4,9t^2]

Enheten er m langs begge aksene.

Finn lengden på kurven når kastet varer 2 sekunder

Min regning;

--> r(t)' = [12, 9-9,8t]

|r(t)'| = [symbol:rot] 12^2 + (9-9,8t)^2

= 15 - 13,28t^0,5 + 9,8t

s=[0,2] [symbol:integral] |r(t)'| dt = [15x-8,85t^1,5 + 4,9t^2]

=30-25,03+19,6 = 24,6m

Men svaret skal bli 26,5m

Kan noen si meg hva jeg gjorde feil? Hjalp ikke da jeg prøvde å skrive verdiene helt ut heller.

[golly]

Når du skal ta $\sqrt{|{\overrightarrow{r}}^{\prime }(t)|}$ kan du vel ikke bare ta roten av hvert av leddene, du må løse en annengradslikning der.

[ettam]

${\overrightarrow{r}}^{,}(t)=[12,9,18t]$

$|{\overrightarrow{r}}^{,}(t)|=\sqrt{225+324t^2}$

${\int }_0^2\sqrt{225-324t^2}\approx 49$


Tror nok du har oppgitt feil vektorfunksjon...

[ettam]

Det er noe fundamentalt galt med denne vektorfunksjonen din!

z-komponenten er jo slik at ballen aldri kommer ned igjen! Den vil bare fortsette å øke høyden over bakken...og farten i vertikal retning (z-retning) vil også øke...

[Rickman]

Ordrett fra oppgaven;

En stein blir kastet på skrå opp i lufta. t sekunder etter at den forlater hånda, er posisjonen tilnærmet gitt ved;

>r (t) = [12t, 2+9t-4,9t^2]

Enheten er 1m på begge akser. x-aksen går langs bakken og y(t) = 2+9t-4,9t^2 viser høyden.
Funksjonen er tilnærmet riktig fordi den ikke tar hensyn til luftmostanden, men den er en brukbar modell.

Vi ser at >r(0) = [0,2]. Det betyr at steinen forlater handa i punktet (0,2) som ligger 2m over bakken.
Definisjonsmengden for funksjonen er [0,b], der b er den t-verdien som gir y=0. y=0 tilsvarer at steinen treffer bakken.

Kastet varte i 2 sekunder. Finn lengden av banen.

Litt rart om dette skulle være feil etter som dette eksemplet brukes for mange oppgaver i boka. EDIT: Hvor fikk du forresten z-komponenten fra?

[Charlatan]

Ah, nok en misforståelse av forskjellen på "," og "."
Det er lett å tro at du har en vektor i tre dimensjoner.

[ettam]

Takk, Jarle10!

ok, la oss se på oppgaven en gang til:

$\overrightarrow{r}(t)=[12t,2+9t-4,9t^2]$

${\overrightarrow{r}}^{,}(t)=[12,9-9,8t]$

$|{\overrightarrow{r}}^{,}(t)|=\sqrt{225-176,4t+96,04t^2}$

${\int }_0^2\sqrt{225-176,4t+96,04t^2}dx\approx 26,5$

[Rickman]

Takk takk, jeg ser den

Kan noen forresten se hva jeg gjorde feil i utregninga?

[groupie]

Det ser ut som du har feil ekspandering og utregning av vektorlengden, altså denne:

$|{\overrightarrow{r}}^{,}(t)|$