dobbeltintegral

[insei]

hei. Jeg er litt usikker på hvordan man løser en slik oppgave. Oppgaven er som følger:

Maximizing a double integral. What region R in the xy-plane maximizes the value of

[tex] \int \int_{R} (4-x^{2}-2y^2)dA [/tex] ?

Give reasons for your answer.

tenkte jeg kunne se på denne først:

[tex]z = 4-x^{2}-2y^2[/tex]

med litt omforming får jeg:

[tex]\frac{z}{4} = 1 - \frac{x^2}{4} -\frac{y^2}{2}[/tex]
[tex]\frac{z}{2^2} + \frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{\sqrt{2}}= 1[/tex]

ligner litt på ellipsoide men her er z og ikke z^2

[tex]z = \sqrt{4-x^{2}-2y^2}[/tex]

[tex] 4-x^{2}-2y^2 > 0 [/tex]

[tex] 4 > x^{2}+2y^2 [/tex]

Fasit sier : R is the set of points (x,y) such that [tex]x^2 +2y^2 < 4[/tex]
For å være ærlig så vet jeg ikke helt hvorfor det er sånn, og framgangsmåten min virker vel litt mistenksomt

[TrulsBR]

Din [tex]z=f(x,y)[/tex] er en elliptisk paraboloide, hvor kun en del er positiv. Området som gir en maksimal verdi er følgelig innenfor skjæringen mellom xy-planet og paraboloiden, som er nettopp ellipsen [tex]x^2+2y^2 < 4[/tex].

[insei]

mener du at den er snudd opp ned og bare en del av tuppen er over z=0 og resten under z=0 ?

siden

Elliptisk parabolioide er på formen

[tex]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z}{c}[/tex]

og vi har

[tex]\frac{z}{4} = 1 - \frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{(\sqrt{2})^2}[/tex]

vil det si at toppunktet er z=4 ?

[mrcreosote]

De områdene hvor integranden er positiv (negativ) vil bidra positivt (negativt) til integralet, hvis du skal maksimere naturligvis bare ha med det med positivt bidrag. Det er nettopp området der [tex]4-x^2-2y^2>0[/tex].

Hvordan vil det spille inn om du integrerer over [tex]4-x^2-2y^2\ge0[/tex] i stedet?

[TrulsBR]

mener du at den er snudd opp ned og bare en del av tuppen er over z=0 og resten under z=0 ?

Jepp!

[insei]

De områdene hvor integranden er positiv (negativ) vil bidra positivt (negativt) til integralet, hvis du skal maksimere naturligvis bare ha med det med positivt bidrag. Det er nettopp området der [tex]4-x^2-2y^2>0[/tex].

Hvordan vil det spille inn om du integrerer over [tex]4-x^2-2y^2\ge0[/tex] i stedet?

det har sikkert ikke hadd noen invirkning på verdien vi har fått?