dobbeltintegral

[insei]

hei. Jeg er litt usikker på hvordan man løser en slik oppgave. Oppgaven er som følger:

Maximizing a double integral. What region R in the xy-plane maximizes the value of

$\int {\int }_R(4-x^2-2y^2)dA$ ?

Give reasons for your answer.

tenkte jeg kunne se på denne først:

$z=4-x^2-2y^2$

med litt omforming får jeg:

$\frac{z}{4}=1-\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}$
$\frac{z}{2^2}+\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{\sqrt{2}}=1$

ligner litt på ellipsoide men her er z og ikke z^2

$z=\sqrt{4-x^2-2y^2}$

$4-x^2-2y^2>0$

$4>x^2+2y^2$

Fasit sier : R is the set of points (x,y) such that $x^2+2y^2<4$
For å være ærlig så vet jeg ikke helt hvorfor det er sånn, og framgangsmåten min virker vel litt mistenksomt

[TrulsBR]

Din $z=f(x,y)$ er en elliptisk paraboloide, hvor kun en del er positiv. Området som gir en maksimal verdi er følgelig innenfor skjæringen mellom xy-planet og paraboloiden, som er nettopp ellipsen $x^2+2y^2<4$.

[insei]

mener du at den er snudd opp ned og bare en del av tuppen er over z=0 og resten under z=0 ?

siden

Elliptisk parabolioide er på formen

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}$

og vi har

$\frac{z}{4}=1-\frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{(\sqrt{2}{)}^2}$

vil det si at toppunktet er z=4 ?

[mrcreosote]

De områdene hvor integranden er positiv (negativ) vil bidra positivt (negativt) til integralet, hvis du skal maksimere naturligvis bare ha med det med positivt bidrag. Det er nettopp området der $4-x^2-2y^2>0$.

Hvordan vil det spille inn om du integrerer over $4-x^2-2y^2\ge 0$ i stedet?

[TrulsBR]

mener du at den er snudd opp ned og bare en del av tuppen er over z=0 og resten under z=0 ?

Jepp!

[insei]

De områdene hvor integranden er positiv (negativ) vil bidra positivt (negativt) til integralet, hvis du skal maksimere naturligvis bare ha med det med positivt bidrag. Det er nettopp området der $4-x^2-2y^2>0$.

Hvordan vil det spille inn om du integrerer over $4-x^2-2y^2\ge 0$ i stedet?

det har sikkert ikke hadd noen invirkning på verdien vi har fått?