irredusibelt polynom

[rm]

Hvilken metode skal jeg bruke for å bevise at følgende polynom er irredusibelt over Q:

f(x)=x[sup]5[/sup]+x[sup]4[/sup]+2x[sup]3[/sup]+3x[sup]2[/sup]+3x+6


Noen som har litt hjelp å komme med?

[mrcreosote]

Det er lett å sjekke at polynomet ikke har noen rasjonale røtter: http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem

Da er den eneste muligheten at f kan faktoriseres til produktet av et polynom av grad 2 og et polynom av grad 3. Skriv generelle slike, regn ut og vis at dette gir en motsigelse. (Jeg har ikke gjort dette, men det er håp om at det fungerer.) Teorem 23.11 i Fraleigh kan være nyttig. Eksempel 23.14 gjør et lignende eksempel, du kan jo ta en titt på det.

[rm]

Jepp, Gikk greit når jeg skrev opp de generelle polynomene!

Takk..

[rm]

Kanksje kan du hjelpe å finne kroppsutvidelsen til denne:

x[sup]3[/sup]+3

og graden til den. sliter litt siden det er tredjerot

[Andrina]

Hva er en rot i polynomet x^3+3? Finn en rot a og divider så x^3+3 på (x-a), så får du et annengradspolynom og så de to andre røttene.
Så kan du finne kroppsutvidelsen (tenker at du mener rotkroppen til det polynomet).

[rm]

a = 3[sup]1/3[/sup]

Blir ikke dette roten.
Det blir en litt vrien polynomdivisjon, eller?

[Andrina]

a blir nok den negative tredjeroten :wink:

Polynomdivisjonen blir ikke så vrien, prøv :D

[rm]

Nei, Ble jo slett ikke vanskelig. Takk for hjelpen..!!