vektorfunksjon for 3mx, oppg.5 på privatisteksamen 08

[andrea123]

Det viser seg at jeg har glemt alt dette her, og læreboken var til mindre hjelp enn vanlig. Kan noen være så snill å hjelpe meg? har nemlig komt opp i 3mx eksamen.

Oppgave 5:
en partikkel følger en bane gitt ved vektorfunksjonen r(t)=[5 cos t, 2 sin t]

a)Finn ved regning skjæringspunktene mellom banen og koordinataksene

b)Tegn en skisse av banen

c) Bestem farts- og akselerasjonsvektoren til partikkelen. (kommentar: det er vel bare å derivere litt)

d) samenlign retningene for vektorene r(t), v(t) og a(t) for t= [symbol:pi] /2 og t= [symbol:pi]

e) Hvor lang er banen?

f) Vis ved rekning at vektorfunksjonen kan omsettes til likningen (x^2/5^2)+(y^2/2^2)=1

På forhånd takk til den/ de som ønsker å hjelpe meg med dette!

[Olorin]

Kan hjelpe deg litt på vei
a)
[tex]\vec{r}(t)=[5\cos t,\,2\sin t][/tex]

[tex]\vec{r}(t)=[\vec{x}(t),\, \vec{y}(t)][/tex]

Banen er symmetrisk om x-aksen og y-aksen

Skjærer y-aksen når [tex]\vec{x}(t)=0[/tex] og x-aksen når [tex]\vec{y}(t)=0[/tex]

Finner skjæringspunkt for y-aksen
[tex]\vec{x}(t)=0\,\ \Rightarrow \,\ 5\cos t=0\,\ t=90[/tex]

[tex]\vec{y}(90)=2\sin(90)=2[/tex]

Pga symmetri skjærer banen y-aksen ved [tex](0\, , \, \pm2)[/tex]

Se om du finner skjæringspunkt med x-aksen selv

b) Skulle være rimelig greit vha grafisk kalkulator eller når du nå har regnet ut skjæringspunktene med aksene.

c) v(t)=r'(t), a(t)=r''(t)

[zell]

d) Der er det bare å sette inn tallverdiene, v(t) står alltid vinkelrett på r(t), a(t) står alltid vinkelrett på v(t), og peker inn mot sentrum.

e) Benytt deg av at:

[tex]L = \int_{\alpha}^{\beta} |\vec{v}(t)|\rm{d}t[/tex]

Dette integralet blir noe hårete, og bør løses numerisk på kalk.

f) Her er det bare å sette inn x(t) og y(t), så vil du se.

Banen er forresten en ellipse.

En ellipse er gitt på den generelle formen:

[tex]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/tex]

Hvor (+-)a blir stedet hvor ellipsen skjærer x-aksen, og (+-)b hvor ellipsen skjærer y-aksen.

[steinarlima]

Hei! Jeg tok også denne eksamenen, men løste den siste deloppgaven på en litt annen måte, og har i ettertid lurt på om jeg har gjordt det riktig.
(kan ikke lage fancy regnestykker =))

Først satte jeg
x=5cos t => x/5=cos t
og
y=2sin t => y/2=sin t

Så kommer det jeg lurer på. Har jeg lov til å legge sammen verdiene på venstre side og de på høyre side? For jeg fikk følgende:

x/5 + y/2 = cos t + sin t

Opphøyer i annen

(x^2/5^2) + (y^2/2^2) = (cos t)^2 + (sin t)^2
(x^2/5^2) + (y^2/2^2) = 1

Blir dette riktig? =)

Og jeg lurer og på hvordan dere tolker deloppgave d). Jeg forstod fint lite av problemstillingen, så jeg tegnet inn alle vektorene i diagrammer som viste at de stort sett gikk hver sin vei.

En siste ting: Hvor lang tid er det vanlig at det går før man får vite eksamenskarakter? 3-4 uker?

[jchrjc]

Hei! Jeg tok også denne eksamenen, men løste den siste deloppgaven på en litt annen måte, og har i ettertid lurt på om jeg har gjordt det riktig.
(kan ikke lage fancy regnestykker =))

Først satte jeg
x=5cos t => x/5=cos t
og
y=2sin t => y/2=sin t

Så kommer det jeg lurer på. Har jeg lov til å legge sammen verdiene på venstre side og de på høyre side? For jeg fikk følgende:

x/5 + y/2 = cos t + sin t

Opphøyer i annen

(x^2/5^2) + (y^2/2^2) = (cos t)^2 + (sin t)^2
(x^2/5^2) + (y^2/2^2) = 1

Blir dette riktig? =)

Og jeg lurer og på hvordan dere tolker deloppgave d). Jeg forstod fint lite av problemstillingen, så jeg tegnet inn alle vektorene i diagrammer som viste at de stort sett gikk hver sin vei.

En siste ting: Hvor lang tid er det vanlig at det går før man får vite eksamenskarakter? 3-4 uker?

Det er nok en regnefeil der..

Du kan ikke kvadrere hvert av leddene på hver side av likhetstegnet for seg!
(Det er akkurat som å si at:
2+4=3+3 medfører at 2^2+4^2=3^2+3^2 som gir at 20=18 !!)
Du må opphøye begge ledd (på hver side) samlet..
Altså bruke den første kvadratsetningen for å løse dem opp..:

(sint+cost)^2 = ((x/5)+(y/2))^2..dette fører imidlertid ikke fram..

Men skjønner ikke hvorfor du har fått riktig svar selvom..
Er det et slumpetreff??