Derrivazione

[zell]

[tex]u = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}[/tex]

[tex]z = \frac{1-x}{1+x}[/tex]

[tex]f^,(x) = \frac{1}{u} \cdot u^, \cdot z^,[/tex]

[tex]f^,(x) = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \cdot \ \frac{-1-x - 1 + x}{(1+x)^2}[/tex]

[tex]f^,(x) = \frac{\cancel{1+x}}{\cancel{2}(1-x)} \cdot \frac{-\cancel{2}}{(1+x)^{\cancel{2}}[/tex]

[tex]f^,(x) = -\frac{1}{(1-x)(1+x)}[/tex]

[Dinithion]

D'oh! Her har jeg brukt kjerneregelen to ganger og stresset og styrt, også tenker jeg ikke på basic forenkling :/

Oh well. God trening i derivasjon da

[bartleif]

Takk enda en gang Var ikke lett å holde tungen rett i munne på disse oppgavene her.

Var akkurat det jeg satt og styrte med nå, bare uten tungen rett i munnen

Hvordan er kjerneregelen? Her har man jo den deriverte av ln ganget den deriverte av roten, og så ganget med kvotienten? Fungerer det alltid slik, at man bare deriverer alt separat og finner produktet av det?

[Janhaa]

[tex]u = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}[/tex]
[tex]f^,(x) = -\frac{1}{(1-x)(1+x)}[/tex]

eller

[tex]f^,(x)=\frac{1}{x^2-1}[/tex]

[Dinithion]

Det var ikke så mye enklere når man forenklet ln utrykket. For de som er interessert:

[tex]f(x) = ln(\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}) = ln \sqrt{1-x} - ln \sqrt{1+x} \\ u = \sqrt{1-x}\,\, u^{\tiny\prime} = - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \\ v = \sqrt{1+x}\,\, v^{\tiny\prime} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \\ f^{\tiny\prime} (x)= \frac{1}{u} \cdot u^{\tiny\prime}- \frac{1}{v} \cdot v^{\tiny\prime}[/tex]

[tex]f^{\tiny\prime} (x) = -\frac{1}{2(1-x)} - \frac{1}{2(1+x)} = \frac{\cancel 2 (1+x) - \cancel 2 (1-x)}{\cancel 2 2(1-x)(1+x)} = \frac{-1 \cancel {-x} -1 \cancel {+x}}{2(1-x)(1+x)} \\\\ f^{\tiny\prime} (x) = \frac{-\cancel 2}{\cancel 2 (1-x)(1+x)} = - \frac{1}{(1-x)(1+x)} = \frac{1}{x^2-1}[/tex]

Edit: La til den siste sammentrekningen

[moth]

Hvordan deriverer jeg denne: [tex](x^3 - 4x + 8)^{\frac{1}{3}}[/tex]
Jeg skjønner at det er det samme som [tex]^3\sqrt{x^3-4x+8}[/tex], men jeg klarer det ikke for det. Noen som kan gi noen tips?

[bartleif]

Rotregelen er jo [tex]\frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex].

Vet ikke hva det kan bli, men kanskje det er noe alá regelen over.

[tex][(x^3-4x+8)^{\frac{1}{3}}]^\prime\cancel{=}\frac{1}{2 ({^3sqrt{x^3-4x+8}})[/tex]
spekulerer stort sett bare da, kan prøve å regne på det nå.
var ikke rett.

[moth]

Takk skal du ha bartulf. Jeg tenkte på det jeg og, men det virket så usannsynlig at jeg gadd ikke prøve.

[Dinithion]

Ikke helt.

[tex]\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}[/tex]

Bruker potensregelen

[tex]\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]

Prøv nå noenlunde det samme for å finne en formel for tredje-rot.

[moth]

Men hvor kommer [tex]\frac{1}{2}^{-\frac{1}{2}}[/tex] fra?

[tex]\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3^3\sqrt{x}[/tex]

Var det dette du mente?

[Charlatan]

Nei, bruk vanlige derivasjonsreglen for [tex]x^n[/tex], på [tex]x^{\frac{1}{3}}[/tex]

[bartleif]

stemmer det der da, hvis det var prosedyren for å finne x.

da blir det her: [tex]\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3(^3\sqrt{x^2})}[/tex]

[Dinithion]

Stemmer det, bartleif. Da er det bare å bruke den i kombinasjon med kjerneregelen. Profit!

[moth]

Ok, no skjønner jeg

[tex]x^{\frac{1}{3}} [/tex]

[tex]\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}[/tex]

Dette blir vel det samme som bartleif fikk. Jeg er visst litt for treig

[bartleif]

O Mektige Pytagoras!


Lærerikt på utrolig mange måter å holde på med derivasjon. Algebra for alle pengene.