Definisjonsmengde og verdimengde

[MatteNoob]

Har fasit på denne oppgaven, men skjønner ingenting av fasiten da oppgaven er hentet fra 1977.

Hehe, så matematikken har endret seg såpass siden 1977 altså?

Hva sier fasiten da?

[lodve]

Vf = R\{-2}

Bare en ting til, når dere mener at funksjonen ikke er definert for 0, mener dere at funksjonen F(x) ikke er definiert F(x) = 0 ? spør fordi hvis x=2,5 i denne opppgaven så får du også null.

[zell]

Nå blander du definisjonsmengde og verdimengde igjen. f(x) = z, alle verdier av z som f(x) kan spytte ut er verdimengden for funksjonen, samtlige gyldige x som kan settes inn i f(x) er definisjonsmengden.

[lodve]

Jeg vet at definisjonsmengde (Df) ikke er definert for x=0. Men det jeg ikke skjønner er om funksjonen i det hele tatt har Definisjonsmengde og Verdimengde. Kan noen her bare forklare meg og rett og slett si meg svaret på denne oppgaven?

Som det blir nevnt, alle funksjoner har verdimenge og definisjonsmengde. Jeg tror faktisk forståelsen din av hva funksjoner og hva de er, er litt fraværende.

En funksjon har alltid en definisjonsmengde, den kan uttrykkes på flere måter. Et eksempel er [tex]D_f = [0, 100][/tex] et annet er [tex]x\in[0, 100][/tex]

Hvert element i definisjonsmengden svarer til et element i verdimengden. Verdimengden er det du får ut av funksjonen ved å kjøre gjennom et element fra definisjonsmengden.

I ditt eksempel, finner du at funksjonen ikke er definert for 0, altså må du finne ut hvilket element i verdimengden 0 svarer til. Dette kan du finne ved å løse

[tex]\lim_{x\to 0}f(x)[/tex]

For å uttrykke definisjonsmengden, kan du feks skrive:
[tex]D_f = \langle \leftarrow,\, 0\rangle \cap \langle 0,\, \rightarrow \rangle[/tex]

[tex]x\in \mathbb{R} \,\cap\, x\neq 0[/tex]

Nå burde du klare å finne verdimengden selv.

Hei


Vf = <<---, -2] og [-2,--->>

Er det riktig?

Siden definisjonsmengden kunne være hvilken som helst tall bortsett fra o som gjør at funksjonen ikke er definerbar.

Det samme gjelder med Verdimengden tenker jeg. Du finner H.asymptoten som er y=-2. og siden det ikke inngår i verdimengden på samme måte som definisjonsmengden (0). Tenker jeg meg vel at svaret blir som ovenfor?


Kan hende jeg har tenkt feil, så bare rett

[Vektormannen]

Det er nesten riktig ja, men husk at -2 ikke er med i verdi-mengden. Derfor må du bruke helåpne intervall: [tex]V_f = \langle \leftarrow, -2 \rangle \cup \langle -2, \rightarrow \rangle[/tex]. Du kan tenke på denne skrivemåten som "unionen av mengden med alle tall fra minus uendelig opp til -2 og mengden med alle tall fra -2 til uendelig".

En alternativ skrivemåte er slik som i boka: [tex]V_f = \mathbb{R} \backslash \{-2\}[/tex]. Denne skrivemåten kan du lese som "mengden av alle reelle tall, minus settet med tallet -2".

[lodve]

Ok, tusen takk for hjelpen folkes. Denne oppgaven er kanskje plankekjøring for dere, men for meg var det litt vanskelig. Ellers tusen takk for hjelpen og deres tålmodighet for at jeg skulle forstå oppgaven

[lodve]

Det er nesten riktig ja, men husk at -2 ikke er med i verdi-mengden. Derfor må du bruke helåpne intervall: [tex]V_f = \langle \leftarrow, -2 \rangle \cup \langle -2, \rightarrow \rangle[/tex]. Du kan tenke på denne skrivemåten som "unionen av mengden med alle tall fra minus uendelig opp til -2 og mengden med alle tall fra -2 til uendelig".

En alternativ skrivemåte er slik som i boka: [tex]V_f = \mathbb{R} \backslash \{-2\}[/tex]. Denne skrivemåten kan du lese som "mengden av alle reelle tall, minus settet med tallet -2".

Vet ikke om jeg tør å rette på folk som er smartere enn meg, men er det ikke Vf = <<---,-2> og <-2,--->> istendenfor "enten eller-tegnet"?

Bare av ren nysgjerrighet. Hva betyr helåpne intervall <> i matematikken?

[Vektormannen]

Hvis jeg ikke tar helt feil vil [tex]\langle \leftarrow, -2\rangle \cap \langle -2, \rightarrow \rangle = \emptyset[/tex], som er det tomme settet / mengden. Dette er fordi operatoren [tex]\cap[/tex], når den brukes på to mengder, lager en ny mengde med elementene som er å finne i begge mengdene. For eksempel har vi at [tex]\{1,2,3\} \cap \{2,3,4\} = \{2,3\}[/tex]. Bare 2 og 3 tas med i den nye mengden fordi det bare er de to som er i begge mengdene på venstre side. Derfor vil det bli feil å bruke [tex]\cap[/tex] her i denne oppgaven, siden det vil resultere i et tomt sett. Det er jo opplagt at vi ikke finner noen av de samme elementene i mengden med tall under -2 i mengden med tall over -2.

[tex]\cup[/tex] lager bare en union av to mengder, med alle elementene fra hver mengde, og det er det vi er ute etter her.

Angående intervaller og intervallnotasjon står det helt sikkert noe om det i boka di. Et lukket intervall inneholder alle tall fra og med en startverdi og til og med en sluttverdi. Et halvåpent intervall går fra eller fra og med og tilsvarende til og med eller til en sluttverdi. Et åpent intervall går fra og med en startverdi og til og med en sluttverdi.

[MatteNoob]

Takker for pirket, vektormannen. Du har nok rett i at man skal nytte union og ikke snitt :]

[Karl_Erik]

Bare av ren nysgjerrighet. Hva betyr helåpne intervall <> i matematikken?

Man skiller mellom lukkede og åpne intervaller. Lukkede intervaller er av typen [a,b] og vil si alle tall fra og med a til og med b. Åpne intervaller skrives <a,b>, og vil si alle tallene fra a til b, men ikke a eller b. Har også sett skrivemåten (a,b) for åpne intervaller, men er vel vanligere å skrive <a,b>. Halvåpne intervaller vil si intervaller som <a,b] eller [a, b>, og er intervaller der det ene endepunktet er med, men ikke det andre. I <a,b] er ikke a med, og i [a, b> er ikke b med.

EDIT: Ser at du har fått svar på dette allerede. Whoops.

[lodve]

Tusen takk for all informasjon. Har solgt bøkene mine, og venter med å få skolebøkene snarest mulig denne uken. Har med andre ord ingen bøker foran meg bortsett fra en mattebok fra 1977

[MatteNoob]

Mattebøker fra 1977 skal ikke undervurderes. Selv har jeg lånt noen eldre matematikkbøker fra forkurset til ingeniør. Mye av informasjonen i dem, er mye bedre lagt frem enn i 2- og 3MX bøkene mine.

Du skal ta R1 nå du, lodve?

[lodve]

Det er nesten riktig ja, men husk at -2 ikke er med i verdi-mengden. Derfor må du bruke helåpne intervall: [tex]V_f = \langle \leftarrow, -2 \rangle \cup \langle -2, \rightarrow \rangle[/tex]. Du kan tenke på denne skrivemåten som "unionen av mengden med alle tall fra minus uendelig opp til -2 og mengden med alle tall fra -2 til uendelig".

En alternativ skrivemåte er slik som i boka: [tex]V_f = \mathbb{R} \backslash \{-2\}[/tex]. Denne skrivemåten kan du lese som "mengden av alle reelle tall, minus settet med tallet -2".

Etter å ha lest Karl_erik sitt innlegg. Trenger jeg bare litt klargjøring her. Åpne intervaler <a,b> er alle tall fra a til men, men ikke a eller b.

Hva betyr da Vf <<--,2>U<-2,-->>

Betyr det alle tall fra relle tall til -2, men ikke reelle tall eller -2?

Høres ikke det fornuftig ut å bruke halvåpne intervaller

<a,b] eller [a,b> der det ene endepunktet er med, men ikke det andre.

Vf [<---,-2> eller <-2,--->]

der -2 ikke er med?


Ja, Mattenoob. Skal ta r1 nå. Gleder meg litt samtidig som jeg gruer meg litt også da det er mye nytt i det.

[BMB]

Jeg ser poenget ditt, men det er bare sånn det skrives Lodve. Piler, som bare betegner at man fortsetter oppover (pil til høyre) eller nedover (pil til venstre) på tallinja, blir alltid skrevet inni en > eller <. Det er vel bare vedtatt at det skal være slik.

[MatteNoob]

For å svare litt mer generelt.

[tex]x \in \langle 0, 10\rangle[/tex]
Fra 0 til 10

[tex]x\in [0, 10][/tex]
Fra og med 0 til og med 10

[tex]x\in [0, 10\rangle[/tex]
Fra og med 0 til 10

[tex]x\in\langle 0, 10][/tex]
Fra 0 til og med 10

Når du bruker piler, så betyr det alle reelle tall på tallrekken den veien pila peker. Feks

[tex]x \in \langle \leftarrow, \rightarrow \rangle[/tex]

[tex]x \in \mathbb{R}[/tex]

[tex]x \in \langle -\infty, \infty\rangle[/tex]
Alle uttrykkene ovenfor betyr det samme :]

Du kan også skrive
[tex]0\leq x \leq 10[/tex]