Volum av roterande objekt

[Eirik W.]

Hei, alle saman,

eg held på med den siste oppgåva i kapittelet om integrasjon i læreboka Sinus R2, og oppgåveteksten er som fylgjer:

Dersom vi teiknar alle punkta (x, y) som passar i likninga


[tex]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex]

får vi ei kurve som vi kallar ein ellipse. Tala a og b er halvaksane i ellipsen.

a) Finn volumet av den figuren vi får når vi dreiar ellipsen 180 gradar om x-aksen.

b) Korleis kan vi bruke dette resultatet til å prove formelen for volumet av ei kule?

Det er i hovudsak deloppgåve a eg slit med. Eg har integrert og integrert, men eg får ikkje anna enn det heilt meiningslause resultatet

[tex]\pi $\int_{a}^b y^2 = \frac{3\pi b^5-3\pi b^4-\pi b^5+\pi a^3 b^2}{3 a^2}$[/tex]

(Sjå vekk frå dollarteikna, eg er ikkje så flink til å improvisera LaTeX.)

Er det nokon som forstår kva eg gjer feil, eller kan hjelpa meg på veg? Eg vil helst få det til sjølv, så det hadde vore okei dersom nokon berre kunna koma med eit vink om kva det er eg ikkje skjønar eller liknande.

Takk!

[mrcreosote]

Ta en ekstra titt på integrasjonsgrensene, så er mye gjort.

[Eirik W.]

eg er redd eg har sett meg blind på denne oppgåva, forstår ikkje kva anna integrasjonsgrensene kan vera?

[Eirik W.]

eg forsøkte med 0 int b og a int 0, men ingen av dei ser ut til å få meg noko nærare svaret. er det meininga at eg skal bruka brøken pi/2?

gaaahaahahaah

[mrcreosote]

Jeg regner med du har løst og fått [tex]y^2=b^2(1-\frac{x^2}{a^2})[/tex]; vi antar a og b positive.

Det virker som du bare gjetter på grenser, hvorfor vil du ha 0/b og det andre du har prøvd? De naturlige grensene hvis du vil ha med det størst mulige objektet er der hvor kurva skjærer x-aksen. Prøv å lag deg ei tegning, så ser du at -a/a er riktig.

[Eirik W.]

hæ?

det gir heilt sikkert rett svar, men eg forstår berre ikkje kvifor det er slik

kvifor er det -a og ikkje a som ligg på venstre sida av y-aksen? det står jo at halvaksane er a og b?

[Charlatan]

Du ser at ellipsen skjærer x-aksen i a og -a, da er det vel naturlig at integrasjonsgrensene óg må være der?

[Eirik W.]

men kva i all verda er b for noko då?

uansett får eg framleis berre 6piab^4 - 2pi a^3 b^2 / 3 a^2

gah eg blir så frustrert

[Charlatan]

a og b er to konstanter som er med på å definere ellipsen, og et par reelle konstanter (a,b) gir en unik ellipse på formen [tex]x^2/a^2+y^2/b^2=1[/tex].

Du har at [tex]y^2=b^2(1-x^2/a^2)[/tex], og dermed funksjonen for ellipsen gitt ved y? Da er det bare å dreie den om x-aksen, og sette grensene fra begge "endene", altså a og -a.

Volumet vil være en funksjon av a og b.

[Eirik W.]

så då eg kom fram til integranden (er det det det heiter, det der som er inne i klammeparentesa?) b^2 x - (1/3)x^3, var det heilt feil? kor mykje kan eg setja på venstre sida av integral-teiknet før det byrjar å skjera seg?

[Charlatan]

Sett hele regnestykket opp pent og pyntelig så det går an å forstå hva du egentlig gjør.

[Eirik W.]

dette gjorde eg:


Volum [tex] = \frac{\pi b^2}{a^2}\int_{-a}^a y^2 = \frac{\pi b^2}{a^2}\int_{-a}^a b^2 - x^2 dx= [b^2 x - \frac{1}{3}x^3]_{-a}^a [/tex] osb.

kva skulle me gjort utan latex, jenter og gutar

p. s.: tusen takk for all hjelpa, karar. eg får ikkje sova før eg har fått til dette

[Wentworth]

@Eirik W:
Det kan noen ganger være til hjelp å søke før man legger ut oppgaven man lurer på , ta for eksempel titt på denne samme oppgaven og lykke til.

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... ght=#81107

[Charlatan]

Hva gjør [tex]\frac{b^2}{a^2}[/tex] der i begynnelsen? Hvorfor tror du [tex]y^2=b^2-x^2[/tex] ?

Alltid husk [tex]\rm{d}x[/tex] !

Ellers har du integrert riktig.

[Eirik W.]

teit feil av meg, eg meinte så klart berre [tex]\pi \int_{-a}^a y^2 dx = osv.[/tex] men dersom eg har integrert rett her, kvifor får eg feil svar seinare? sjå her:

[tex][b^2 x - \frac{1}{3}x]_{-a}^a[/tex]
[tex]= [(b^2 a - \frac{1}{3} a^3) - (b^2\cdot-a - \frac{1}{3}\cdot-a^3)][/tex]
[tex]= ab^2 + ab^2 - \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{3}a^3[/tex]
[tex]= 2ab^2 - \frac{2}{3}a^3[/tex]
[tex]= \frac{6ab^2 - 2a^3}{3}[/tex], før eg gonger med [tex]\frac{\pi b^2}{a^2}[/tex] og får noko à la

[tex]\frac{6 \pi a b^4 - 2 \pi a^3 b^2}{3 a^2}[/tex]

no går det verkeleg i surr for meg her, heh

p. s.: er det nokon som veit korleis du får opp «\», «{» og «}» i mac os x? til no har eg klipt og limt, men det er litt tungvint i lengda…