Punkt og plan

mathme · 17/09-2008 19:38

a) Hvor ligger alle punktene som har en gitt avstand fra et plan ?

De ligger parallelt med planet, enten på den ene sida, eller den andre sida (positivt og negativ) ... ikke sant ?

b) Et plan har likningen x+2y+2z=9. Finn likningen for to plan som har avstanden 6 fra planet ?

Jeg har holdt på i 2 timer nå, og får det rett og slett ikke til. Håper dere med-matematikkere kan hjelpe meg

mrcreosote · 17/09-2008 19:42

Hvis 2 plan er parallelle, er en normalvektor til det ene også en normalvektor til det andre. Derfor ser nødvendigvis også ligningene til plana ganske like ut.

mathme · 17/09-2008 19:46

mrcreosote wrote:Hvis 2 plan er parallelle, er en normalvektor til det ene også en normalvektor til det andre. Derfor ser nødvendigvis også ligningene til plana ganske like ut.

Ja, det forstår jeg, men med hensyn på avstanden som skal være 6 fra det ene til det andre planet, jeg er klar over at retningsvektorene er like! x+2y-2z+27=0 er et av svarene i fasiten, men jeg forstår ikke hvordan de er kommet fram til det

mrcreosote · 17/09-2008 19:50

De plana er ikke parallelle. Tenk lettere på det da: Kall planet x=0 for P. Plana x=1 og x=-1 er begge parallelle med P, dette er greit å visualisere. De har også avstand 1 fra P. Enig?

mathme · 17/09-2008 19:56

mrcreosote wrote:De plana er ikke parallelle. Tenk lettere på det da: Kall planet x=0 for P. Plana x=1 og x=-1 er begge parallelle med P, dette er greit å visualisere. De har også avstand 1 fra P. Enig?

Jeg forstår ikke hvorfor du setter x=0 og hvor kommer P fra ? Er det bare et eksempel ?.... Jeg er forsåvidt enig i det du sier, men jeg forstår ikke sammenhengen

Kunne du gi litt mer tips ? (jeg vet du ikke viser utregning) hehehe

mrcreosote · 17/09-2008 20:43

Ja, var klønete formulert. Det var et annet eksempel; prøv å få et bilde av det du holder på med.

Det vi i alle fall er enige om (?) er at plana ax+by+cz=d og ax+by+cz=e er parallelle. Nå kan det være en idé å finne avstanden mellom disse plana. Jeg har ikke prøvd ut dette, men det kan være det fungerer å ta et vilkårlig punkt i det ene planet og sette en normalvektor der. Hvor lang må denne være for at den skal nå akkurat fram til det andre planet? Dette vil da være avstanden mellom plana.

ettam · 17/09-2008 22:02

mathme wrote:a) Hvor ligger alle punktene som har en gitt avstand fra et plan ?

De ligger parallelt med planet, enten på den ene sida, eller den andre sida (positivt og negativ) ... ikke sant ?

Jeg vil bare presisere det du selv skriver her:

Alle punktene som ligger i en gitt avstand fra et plan ligger i to plan som er parallelle og på hver sin side av dette planet.

(Disse tre planene har derfor den samme normalvektoren).

17/09-2008 22:28

Du vet at planene er parallelle. Da må de ha samme normalvektor. Du vet også at du trenger ett punkt og en normalvektor for å lage likningen til et plan.

Det du da må gjøre er å finne et punkt som ligger i avstand 6 fra planet (hvordan skal du gjøre dette?), og så må du lage en planlikning av det punktet og normalvektoren.

mathme · 17/09-2008 22:47

Emomilol wrote: Det du da må gjøre er å finne et punkt som ligger i avstand 6 fra planet (hvordan skal du gjøre dette?), og så må du lage en planlikning av det punktet og normalvektoren.

Det er akkurat det jeg sliter med, et punkt som ligger avstanden 6 fra planet, det dere sier er jeg hundre og nitti ni prosent enig med (siste en prosenten er usikkerhet he-he) ... men la meg tenke litt høyt:

Et punkt som ligger 6 fra et plan som har samme normalvektor som selve planet punktet ligger i... Det vil si at punktet er vinkelrett på planet, det vil videre si at vektoren fra et punkt på normalvektoren til planet til det uskjente punktet er vinkelrett på normalvektoren til planet. Det betyr at jeg må ha et punkt på retningsvektoren ? Og det punktet kan f.eks være (1,2,2) .. da kan jeg sette opp at absoluttverdien til det punktet, til et vilkårlig punkt er lik 6 og løse likningen ?

Jeg begynner å bli helt lost i denne oppgava, håper dere kan hjelpe meg ut !

mrcreosote · 17/09-2008 23:15

Ta et vilkårlig punkt i det opprinnelige planet ditt. Hvis du rusler 6 enheter i retninga til en normalvektor til planet, havner du i avstanden 6 fra planet. (Legg merke til at dette ikke stemmer om det ikke var langs en normalvektor du rusla.) Dette nye punktet kan du finne koordinatene til siden du veit hvor du starta, hvilken retning du rusla i og hvor langt du rusla. Samtidig vil du ha det til å ligge i planet x+2y+2z=e, og da kan du også bestemme e.

mrcreosote · 18/09-2008 16:38

Fikk du til det her?

mathme · 18/09-2008 16:52

Jeg kom fram til noe, men jeg er helt usikker om det er riktig eller ei. Altså jeg tenkte som du sa.

Normalvektoren = [1,2,2] ... jeg ruslet 6 enheter i positiv x retning og fikk punktet (7,2,2)... vel siden det punktet skal ha samme normalvektor, må det bli x+2y+2x-11 = 0.

Tenker jeg riktig ?

mrcreosote · 18/09-2008 18:15

Et punkt har ingen normalvektor! Du starter riktig, punktet (1,2,2) ligger i planet siden 1*1+2*2+2*2=9. [1,2,2] er en normalvektor av lengde 3, så (6/3)*[1,2,2]=[2,4,4] er en normalvektor av lengde 6. Punktet (1+2,2+4,2+4)=(3,6,6) ligger derfor i avstanden 6 fra planet. Vi ønsker at dette punktet også skal ligge i planet x+2y+2z=e der vi ikke kjenner e; men det kan vi nå finne.

Prøv nå å finne ligninga for planet i motsatt retning.

ettam · 18/09-2008 20:54

Prøv å følge denne framgangsmåten:

Planet du vet likningen til (kaller det [tex]\alpha[/tex]) har normal vektoren: [tex][1, 2, 2][/tex]

dividerer jeg med lengden får jeg en normalvektor med lengden 1:

[tex]\vec n = [\frac13, \frac23, \frac23][/tex]

Finn så et punkt i planet [tex]\alpha[/tex], kaller det punktet [tex]A[/tex]

La punktet [tex]O[/tex] være origo, og [tex]P[/tex] et punkt i planet du vil finne likningen til med avstanden 6 fra [tex]\alpha[/tex]

Nå vil vektoren [tex]\vec {OP} = \vec {OA} + 6 \cdot \vec n[/tex] være en vektor fra origo til et punkt i det planet du vil finne likninga til. La oss si at koordinatene ble [tex][x_0, y_0, z_0][/tex].

Da gir formelen: [tex]a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0[/tex] likninga til planet du vi finne. Der [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] er koordinatene til en normalvektor til [tex]\alpha[/tex] (f.eks. [tex]a = 1[/tex], [tex]b=2[/tex] og [tex]c=2[/tex]).

mathme · 21/09-2008 23:11

Tusen takk for en herlig guide gjennom dette problemet, både ettam,, mrcreosote, og emomilol setter utrolig stor pris på det. Jeg tar dere med en reise i hjernen min, (det blir kaotisk) :

Jeg tok endelig litt av tankegangen her... altså lengden av normalvektoren er [tex]3[/tex] .. [tex]2 \cdot 3 = 6[/tex] , eller vi kan dele på [tex]3[/tex] i normalvektoren og gange med[tex] 6[/tex], to sider av samme sak, ikke sant?

Hvis [tex]P[/tex] er et punkt i det planet jeg skal finne likningen til,...

Likningen for et plan er definert som et kjent punkt i planet til et ukjent punkt i planet gange normalvektoren[tex] = 0... A = (3,3,0)[/tex] er et punkt i [tex]\alpha[/tex] , [tex]AP[/tex] skal ha lengden [tex]6[/tex], hvor [tex]P[/tex] er et punkt i det planet jeg skal finne likningen til...
normalvektoren blir[tex] 2 \cdot [1,2,2] = [2,4,4][/tex] for det ukjente planet. Ettersom AP skal ha avstanden [tex]6[/tex], er det da mulig å sette opp denne likningen :
[tex]\sqrt {(x-3)^2+(y-3)^2+z^2}[/tex] [tex]= 6[/tex] For å finne [tex]P [/tex]? Jeg tviler på det, ettersom jeg får
[tex]x^2+y^2+z^2-6x-6y=6^2-9-9 [/tex]... hva kan andre muligheter være for å finne [tex]P[/tex] ? Vi vet jo at disse to planene er paralelle, det betyr jo at AP skal stå vinkelrett på [tex][2,4,4][/tex] , betyr det videre at jeg kan finne punktet [tex]P[/tex] slik :
[tex][x-3,y-3,z] \cdot [2,4,4] = 0[/tex]
[tex](x-3) \ cdot 2 = 0 [/tex]
[tex]2x=6 og x=3[/tex]
[tex]2y-8 og y= 4[/tex]
og [tex]z = 4[/tex], altså punktet [tex](2,4,4) [/tex]ligger i det ukjente planet ?

Da blir vel likningen [tex]PQ \cdot n = 0[/tex], hvor[tex] Q[/tex] er et vilkårlig punkt..
[tex][x-2,y-4,z-4] \cdot [2,4,4][/tex] ?

Tenker jeg helt galt nå ? Ja, jeg tror jeg gjør det.. for jeg ser nå hvordan du tenkte, altså du vet jo normalvektoren for det nye planet, det du trenger et punkt... og du definerer det punktet som [tex]OA[/tex] (et punkt i [tex]\alpha + 6[/tex] ganger normalvektoren)... da får du et punkt som er seks enheter fra [tex]A[/tex] som ligger i [tex]\alpha[/tex]... jeg forstår det, tror jeg og håper jeg! Men jeg skal nok jobbe mer med denne oppgaven, men jeg tror jeg forstår tankegangen og har en grunnlag for å klare den

[tex]OP[/tex] blir da [tex](3,3,0)+(2,2,4)[/tex] [tex]= (5,5,4)[/tex] som ligger i det ukjente planet som har normalvektoren [tex][2,2,4]. PQ[/tex] , [tex]Q=[/tex]et vilkårlig punkt i planet er [tex][x-5,y-5,z-4][/tex] ... dette ganget med normalvektoren[tex] [2,2,4][/tex] skal bli null derfor:

[tex]2(x-5)+2(y-5)+4(x-4)[/tex]

som gir

[tex]2x-10+2y-10+4z-16=0[/tex]
[tex]2x+2y+4z-36=0 [/tex]

Håper dere retter meg

Edit: Hva blir så det andre planet, negativ retning for normalvektoren ?