Derivasjon av trigonometriske funksjoner

[Mab]

Heisann. Sliter litt med et par oppgaver og håper kanskje noen kan hjelpe meg litt.

1. Deriver funksjonen for å finne de to punktene hvor den momentane veksthastigheten er lik 1/2:

f(x) = cos x, [0, 2 [symbol:pi] ]
Jeg mener å tro at jeg må derivere funksjonen og sette den lik 1/2, og det er jo lett nok, men det er også så langt jeg kommer i utrengningen...


2. Dybden i meter er gitt ved funksjonen, t er timer etter midnatt:

[tex]f(t) = 9,2 + 1,6\sin (\frac{\pi }{6}t - 3),t \in [0,24][/tex]

Så, jeg finner den andrederiverte og setter den lik null og får noe slikt som

[tex]f``(t) = - \frac{{1,6\pi ^2 }}{{36}}\sin (\frac{\pi }{6}t - 3) = 0[/tex]

Nå, rent bortsett fra at oddsen for at jeg har derivert rett er ganske små, så aner jeg virkelig ikke hvordan jeg skal løse ligningen og få t alene på ene siden. Noen som kan hjelpe?


(Jeg vet at det er dårlig form å dele ut gratis løsninger, men vær så snill og ikke si: ja så vis hva du har så langt da. Jeg har desverre allerede gjort det. )

[Vektormannen]

1. Hvorfor stopper det opp? Hva er det du er usikker på? Skal vel være ganske rett fram dette, og du har tenkt rett hittil.

2. Derivasjonen ser riktig ut den

Konstantene foran sinusfunksjonen har ingen innvirkning på nullpunktet. Derfor kan du trygt dele dem bort (de forsvinner siden 0/x = 0). Da står du igjen med [tex]\sin(\frac{\pi}{6} - 3) = 0[/tex]. Denne kan du kanskje klare?

[thomatt]

Helt riktig vektormannen, men du glemte en t ette [symbol:pi] /6

[Karl_Erik]

Kan alltids løse den første for deg. f(x) = cos(x) , og vi vil vite hvor f'(x) = 0. Først deriverer du funksjonen. Dette har du helt sikkert klart - er ikke verre enn å slå opp i en formelsamling (der gråt samtlige forumbrukere, vil jeg tro) for å se at (cos(x))' = -sin(x). Så vi vet at f'(x)=-sin(x). Vi løser så likningen f'(x)=0.

[tex]-sin(x) = \frac 1 2[/tex]
[tex]sin(x) = - \frac 1 2[/tex]

[tex]x = arcsin (- \frac 1 2) + 2k \pi[/tex]
[tex]eller[/tex]
[tex]x = \pi - arcsin(- \frac 1 2) + 2k \pi[/tex]

(Arcsin er 'baklengs sinus' om du ikke har hørt uttrykket før. På lommeregneren din kalles den sikkert [tex]sin^{-1}[/tex] eller noe tilsvarende.)

Når vi har kommet så langt er alt vi behøver å gjøre å finne verdien av [tex]arcsin(- \frac 1 2 )[/tex]. Dette er ikke verre enn å finne ut hvilken vinkel som har sinus lik [tex] - \frac 1 2[/tex]. Lommeregneren gir oss svaret [tex]arcsin(- \frac 1 2) = \frac {-\pi} 6[/tex], og da husker vi også på at [tex]\pi - \frac {- \pi} 6[/tex] også er en løsning. Så husker vi at x skal ligge mellom 0 og 2[symbol:pi], så vi må sjekke om løsningene våre passer inn i intervallet. Vi ser at den ene løsningen er negativ og sånnsett ikke passer inn, så vi må legge til 2[symbol:pi] til denne. Da har vi funnet to løsninger; [tex]x= \frac {5\pi} 6[/tex] og [tex]\frac {7\pi} 6[/tex].

Den andre oppgaven kan du løse på akkurat samme måte. Derivasjonen din er som Vektormannen sier helt riktig.

[Mab]

Jaah, jeg har derivert riktig! Fin start på morgenen,det.

Takk for hjelpa, jeg regna med at det var noe lite tåpelig jeg overså (som alltid), ser nå at det er ganske så rett frem.

[Mab]

Når jeg støter på lignende oppgaver ser jeg at dette har jeg egentlig ikke forstått. [tex]\sin(\frac{\pi}{6}t - 3) = 0? [/tex]Nei, jeg klarer altså ikke å løse det. Kan jeg få dummies-versjonen?

[Vektormannen]

[tex]\sin(\frac{\pi}{6}t - 3) = 0[/tex]

Vi tar sin-invers på begge sider. På høyresida vil da alle vinkler som gir sinusverdi 0, passe inn. Disse vinklene er multipler av 180 grader, eller [tex]\pi[/tex] i radianer. Dermed får vi:

[tex]\frac{\pi}{6}t - 3 = k \pi, \ \ n \in Z[/tex]

[tex]\pi t = 6k \pi + 3 \cdot 6[/tex]

[tex]t = 6k + \frac{18}{\pi}[/tex]

t skal ligge i [tex][0, 2\pi][/tex]. Det er bare én k-verdi som gir en slik t-verdi, nemlig k = 0. Da får du [tex]t = \frac{18}{\pi}[/tex].