Volum og dobbeltintegral

[tool-nes]

Beregn volumet til området E når:
E er området over xy-planet og under grafen [tex]z = \sqrt(32 - 2x^2 - 2y^2)[/tex]..

Noen som kan hjelpe meg på vei?
jeg skjønner at [tex]f(x,y) = z[/tex], men klarer ikke å ressonere meg frem til grensene i integralet..

Håper på en dytt her

[Janhaa]

siden [tex]\,\,x^2+y^2=r^^2[/tex]
KAN nok dobbeltintegralet skrives på følgende måte:

[tex]V=\int_0^{2\pi}\int_0^4 \sqrt{32\,-\,2r^2}\,r\,dr\,d\theta[/tex]

[tool-nes]

jeg skjønner det når du gjør om til polarkoordinater..
men hvordan kom du fram til de grensene der?

edit:
[tex]r^2 = x^2 + y^2[/tex] er det det samme som [tex]r^2 = x^2 - y^2[/tex]?

[mrcreosote]

Siden du er interessert i området over xy-planet, bør du være interessert i hvor funksjonen skjærer xy-planet. I xy-planet er z=0, og hvis du fikser litt på ligninga, får du en sirkel som skjæringskurve. Det er over denne du skal integrere.

[tool-nes]

Siden du er interessert i området over xy-planet, bør du være interessert i hvor funksjonen skjærer xy-planet. I xy-planet er z=0, og hvis du fikser litt på ligninga, får du en sirkel som skjæringskurve. Det er over denne du skal integrere.

lyst til å forklare litt nærmere? hehe

[zell]

Se for deg at du orienterer deg slik at du ser NED på området, altså i negativ z-retning. Det du da vil se vil være projeksjonen av området ned i xy-planet. Da vil grensene dine for integrasjon komme fram, ved z = 0 (xy-planet).

[tex]z = \sqrt{32-2x^2 - 2y^2} = 0[/tex]

[tex]\sqrt{32 - 2r^2} = 0[/tex]

[tex]32-r^2 = 0 \ \Rightarrow \ r^2 = 16[/tex]

[tex]r = 4[/tex]

Altså har du en sirkel med radius lik 4 i xy-planet.

Og du får grensene:

[tex]V = \int_0^{2\pi}\int_0^4\sqrt{32-2r^2}r\rm{d}r\rm{d}\theta[/tex]

[tool-nes]

grensene 0 og 4 skjønner jeg.. og 0 og [tex]2 \pi[/tex] også forsåvidt. det blir [tex]2 \pi[/tex] pga at der projeksjonen skjærer xy-planet er en sirkel..
men hvordan kom du/dere fram til at det var en sirkel?

[zell]

Se på ligningen jeg løser da. Du er vel kjent med polarkoordinater?

[tool-nes]

jeg er kjent med det, men ingen kløpper i det.. hehe
går så fort gjennom stoffet at jeg klarer ikke få alt inn i hodet med en gang.. hehe
sliter blant annet også med å integere [tex](32 - 2r^2)^{1/2}r[/tex]

[zell]

Da anbefaler jeg deg å åpne boken og lese det som står der.

Det integralet er videregåendepensum faktisk, substituer med u = 32 - 2r^2 så er du i mål.

[tool-nes]

leser og leser jeg, tro meg..
der ja, da skjønte jeg det med en gang.. er mange år siden videregående, så sliter med å huske alt sammen.. er vel det som gjør at jeg stopper opp litt her og der