En oppgave med polarkoordinater

[Joche]

r=a(1+cos b0)

a=2 og b=1

Noen mikrofoner har en slik signalfølsomhet med en nyreformet karakteristikk, der r beskriver følsomheten for signaler fra ulike retninger. Arealet mellom kurven og andreaksen til høyre for andreaksen er et mål for signalmengden som mikrogonen tar opp forfra

1) Finn et mål for den signalmengden som kommer inn i mikrofonen forfra, det vil si sektoren der 0 eksisterer [-pi/2, pi/2]

2) Finn ved regning et mål for den signalmengden som kommer inn bakfra

[Janhaa]

1)
[tex]r\,=\,2\,+\,2cos(\theta),\;\;\theta \in [-{\pi\over 2},\,{\pi\over 2}][/tex]

[tex]A\,=\,{1\over 2}\int_{-\pi\over 2}^{\pi\over 2}r^2\,d \theta[/tex]

[tex]A\,=\,{1\over 2}\int_{-\pi\over 2}^{\pi\over 2}(2\,+\,2\cos(\theta))^2\,d \theta[/tex]

[tex]A\,=\,{1\over 2}\int_{-\pi\over 2}^{\pi\over 2}(4\,+\,8\cos(\theta)\,+\,4cos^2(\theta))\,d \theta[/tex]


[tex]A\,=\,{1\over 2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(6\,+\,8\cos(\theta)\,+\,2cos(2\theta))\,d \theta[/tex]

[tex]A\,=\,[(3\theta\,+\,4\sin(\theta)\,+\,{1\over 2}sin(2\theta)]_{-\pi/2}^{\pi/2}[/tex]

[tex]A\,=\,{3}\pi\,+\,8[/tex]



2)
TILSVARENDE, bare endre grensene