sitter dønn fast, håper noen kan hjelpe til. Takker på forhånd
eksamensoppgave
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
En kuleformet akvarium med radius 30 cm fylles med vann, [tex]50cm^3[/tex] pr.sekund. Hvor hurtig stiger vannet i akvariet ved det tidspunkt da vanndybden (midt i akvariet) er 10 cm?
sitter dønn fast, håper noen kan hjelpe til. Takker på forhånd
sitter dønn fast, håper noen kan hjelpe til. Takker på forhånd
er det kanskje meningen at man skal ta i bruk kuleskiveformel for å finne tia idet det blir fyllt opp 10 cm i akvariet? Finne ut hvor mye av volumet som har blitt fyllt opp, så dele på 50 for å finne t. Hm , volumet av kula kan jo bli uttrykt ved dets diameter, og det er jo nesten som høyden , men d virker som om det blir feil å tenke sånn når jeg tenker videre..
Volumet av en kulekalott, gitt ved høyden av kalotten, eller vannstanden, h og radiusen til kula r er
[tex]V = \pi r h^2 - \frac{1}{3}\pi h^3[/tex]
Nå har du relatert variablene, og kan derivere implisitt.
[tex]V = \pi r h^2 - \frac{1}{3}\pi h^3[/tex]
Nå har du relatert variablene, og kan derivere implisitt.
skal man ikke finne en funksjon for arealet av overflata på vannet e som funksjon av høgda?
Så litt i matteboka fra 3mx, der har man bevist volumet V av ei kule ved hjelp av integrasjon. Finnes et forhold der.
[tex](r(x))^2 + x^2 = r^2[/tex] hvor x er avstanden fra origo og r(x) er radien til snittflata.
Dette blir jo nesten som
[tex]R^2 = r^2 + (R-h)^2[/tex], hvor R er radius til kula, og R-h avstanden fra midten av kula. kan man tenke sånn?
arealet av vannoverflata:
[tex]r^2 = R^2 - (R-h)^2[/tex]
[tex]\pi r^2 = \pi(R^2 - (R-h)^2[/tex]
[tex] A(h) = \pi(R^2 - (R-h)^2 [/tex]
Nå finner vi uttrykk for Volumet som funksjon av høyden, kan man gjøre sånn? :/
Så litt i matteboka fra 3mx, der har man bevist volumet V av ei kule ved hjelp av integrasjon. Finnes et forhold der.
[tex](r(x))^2 + x^2 = r^2[/tex] hvor x er avstanden fra origo og r(x) er radien til snittflata.
Dette blir jo nesten som
[tex]R^2 = r^2 + (R-h)^2[/tex], hvor R er radius til kula, og R-h avstanden fra midten av kula. kan man tenke sånn?
arealet av vannoverflata:
[tex]r^2 = R^2 - (R-h)^2[/tex]
[tex]\pi r^2 = \pi(R^2 - (R-h)^2[/tex]
[tex] A(h) = \pi(R^2 - (R-h)^2 [/tex]
Nå finner vi uttrykk for Volumet som funksjon av høyden, kan man gjøre sånn? :/
[tex]A=\pi * r^2[/tex]
[tex]r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}[/tex]
[tex]V=\frac{4\pi r^3}{3}[/tex]
[tex]V=\frac{4\pi \frac{A}{\pi}*\sqrt{\frac{A}{\pi}}}{3}[/tex]
[tex]V=\frac{4A*\sqrt{\frac{A}{\pi}}}{3}[/tex]
[tex]V=\frac{4A\sqrt{A\pi}}{3 \pi}[/tex]
[tex]V(h)=\frac{4*(\pi(R^2 -(R-h)^2)) \sqrt{(\pi(R^2 -(R-h)^2))\pi}}{3 \pi}[/tex]
er jeg helt på villspor?
[tex]r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}[/tex]
[tex]V=\frac{4\pi r^3}{3}[/tex]
[tex]V=\frac{4\pi \frac{A}{\pi}*\sqrt{\frac{A}{\pi}}}{3}[/tex]
[tex]V=\frac{4A*\sqrt{\frac{A}{\pi}}}{3}[/tex]
[tex]V=\frac{4A\sqrt{A\pi}}{3 \pi}[/tex]
[tex]V(h)=\frac{4*(\pi(R^2 -(R-h)^2)) \sqrt{(\pi(R^2 -(R-h)^2))\pi}}{3 \pi}[/tex]
er jeg helt på villspor?
En kule lager du ved å rotere [tex]f(x) = \sqrt{r^2-x^2}[/tex] rundt x-aksen, og ved å velge passende grenser kommer du fram til uttrykket over.
[tex]V = \pi r h^2 - \frac{1}{3}\pi h^3[/tex]
Nå kan du derivere begge sidene med hensyn på tid, og få
[tex]\frac{\rm{d}V}{\rm{d}t} = 2\pi r h \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t} - \pi h^2\frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}[/tex]
Og nå er du ikke langt unna svaret.
[tex]V = \pi r h^2 - \frac{1}{3}\pi h^3[/tex]
Nå kan du derivere begge sidene med hensyn på tid, og få
[tex]\frac{\rm{d}V}{\rm{d}t} = 2\pi r h \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t} - \pi h^2\frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}[/tex]
Og nå er du ikke langt unna svaret.
[tex]V=\frac{4A*\sqrt{\frac{A}{\pi}}}{3}[/tex]
[tex]V(h)=\frac{4(\pi(R^2 -(R-h)^2))*\sqrt{\frac{(\pi(R^2 -(R-h)^2))}{\pi}}}{3}[/tex]
[tex]V(h)=\frac{4(\pi(R^2 -(R-h)^2))*\sqrt{R^2 -(R-h)^2}}{3}[/tex]
[tex]V(h)=\frac{4\pi}{3}*(R^2 -(R-h)^2)*\sqrt{R^2 -(R-h)^2}[/tex]
setter inn 30cm for R
[tex]V(h)=\frac{4\pi}{3}*(60h-h^2)*\sqrt{60h-h^2}[/tex]
finner vi [tex]\frac{dV}{dh}[/tex] nå og setter inn 10 cm for h? >_<
[tex]V(h)=\frac{4(\pi(R^2 -(R-h)^2))*\sqrt{\frac{(\pi(R^2 -(R-h)^2))}{\pi}}}{3}[/tex]
[tex]V(h)=\frac{4(\pi(R^2 -(R-h)^2))*\sqrt{R^2 -(R-h)^2}}{3}[/tex]
[tex]V(h)=\frac{4\pi}{3}*(R^2 -(R-h)^2)*\sqrt{R^2 -(R-h)^2}[/tex]
setter inn 30cm for R
[tex]V(h)=\frac{4\pi}{3}*(60h-h^2)*\sqrt{60h-h^2}[/tex]
finner vi [tex]\frac{dV}{dh}[/tex] nå og setter inn 10 cm for h? >_<
[tex]\frac{\rm{d}V}{\rm{d}t} = 2\pi r h \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t} - \pi h^2\frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}[/tex]
[tex]\frac{\rm{d}V}{\rm{d}t} = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}(2\pi r h - \pi h^2)[/tex]
[tex]50 = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}(2\pi r h - \pi h^2)[/tex]
[tex]\frac{50}{(2\pi r h - \pi h^2)} = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}[/tex]
[tex]\frac{50}{(2\pi 30*10 - \pi 10^2)} = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}[/tex]
[tex]\frac{50}{(600\pi - 100\pi)} = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}[/tex]
[tex]\frac{50}{100(6\pi - 1\pi)} = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}[/tex]
[tex]\frac{1}{2(5\pi)} = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}[/tex]
[tex]\frac{1}{10\pi} = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}[/tex]
ca 0.03 cm/s
[tex]\frac{\rm{d}V}{\rm{d}t} = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}(2\pi r h - \pi h^2)[/tex]
[tex]50 = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}(2\pi r h - \pi h^2)[/tex]
[tex]\frac{50}{(2\pi r h - \pi h^2)} = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}[/tex]
[tex]\frac{50}{(2\pi 30*10 - \pi 10^2)} = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}[/tex]
[tex]\frac{50}{(600\pi - 100\pi)} = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}[/tex]
[tex]\frac{50}{100(6\pi - 1\pi)} = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}[/tex]
[tex]\frac{1}{2(5\pi)} = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}[/tex]
[tex]\frac{1}{10\pi} = \frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}[/tex]
ca 0.03 cm/s
Jeg er ikke helt sikker på hvordan du kom fram til den formelen ved hjelp av å integrere.
men jeg brukte litt formler i rottman s.35 :
La:
V = volumet av vannet i akvariet på tia t.
h = høyden på vannet vannet i akvariet.
r= radius av vannoverflaten
Vannet i akvariet former en kulekalott med volum
[tex]V= \frac{\pi h}{6} *(3r^2 -h^2) [/tex]
siden vi ikke vet noe om r, må vi eliminere det.
på rottman s.35 står det [tex]M=2\pi Rh = \pi(r^2 + h^2)[/tex] hva står M for?
[tex]2\pi Rh=\pi r^2 + h^2\pi[/tex] (løser likning mhp r)
[tex]r^2=\frac{\pi h(2R-h)}{\pi}[/tex]
[tex]r^2=h(2R-h)[/tex]
Setter inn for r^2 :
[tex]V=\frac{\pi h}{6} (3r^2 + h^2)[/tex]
[tex]V=\frac{\pi h}{6} (3h(2R-h) + h^2)[/tex]
[tex]V=\frac{\pi h}{6} (6hR-3h^2+ h^2)[/tex]
[tex]V=\frac{\pi h}{6} (6hR-2h^2)[/tex]
[tex]V=\pi R h^2- \frac{1}{3} \pi h^3)[/tex]
Er veldig nysjerrig på den andre metoden
men jeg brukte litt formler i rottman s.35 :
La:
V = volumet av vannet i akvariet på tia t.
h = høyden på vannet vannet i akvariet.
r= radius av vannoverflaten
Vannet i akvariet former en kulekalott med volum
[tex]V= \frac{\pi h}{6} *(3r^2 -h^2) [/tex]
siden vi ikke vet noe om r, må vi eliminere det.
på rottman s.35 står det [tex]M=2\pi Rh = \pi(r^2 + h^2)[/tex] hva står M for?
[tex]2\pi Rh=\pi r^2 + h^2\pi[/tex] (løser likning mhp r)
[tex]r^2=\frac{\pi h(2R-h)}{\pi}[/tex]
[tex]r^2=h(2R-h)[/tex]
Setter inn for r^2 :
[tex]V=\frac{\pi h}{6} (3r^2 + h^2)[/tex]
[tex]V=\frac{\pi h}{6} (3h(2R-h) + h^2)[/tex]
[tex]V=\frac{\pi h}{6} (6hR-3h^2+ h^2)[/tex]
[tex]V=\frac{\pi h}{6} (6hR-2h^2)[/tex]
[tex]V=\pi R h^2- \frac{1}{3} \pi h^3)[/tex]
Er veldig nysjerrig på den andre metoden
... ...
Husk at dV/dy = A sier jeg.
[tex]\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dy}\cdot\frac{dy}{dt} = A\cdot\frac{dy}{dt}[/tex]
Så er du vel fort i mål med at [tex]A = \pi r^2 = \pi (R^2 - a^2) =\pi (30^2 - (30-y)^2) = \pi \cdot y(60-y)[/tex]
Husk at dV/dy = A sier jeg.
[tex]\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dy}\cdot\frac{dy}{dt} = A\cdot\frac{dy}{dt}[/tex]
Så er du vel fort i mål med at [tex]A = \pi r^2 = \pi (R^2 - a^2) =\pi (30^2 - (30-y)^2) = \pi \cdot y(60-y)[/tex]
[tex]dV/dh = A[/tex] Hva betyr dette egentlig? sånn forklart med ord liksom:P måten volumet forandrer seg med høyden henger sammen med arealet av overflata av vannet med høyde h? :S skjønner ikke.
skal vi integrere A slik?
[tex]V= \int_{r-a}^{r} A(y) dy[/tex] ?
sånn forklart med ord liksom:P måten volumet forandrer seg med høyden henger sammen med arealet av overflata av vannet med høyde h? :S skjønner ikke.skal vi integrere A slik?
[tex]V= \int_{r-a}^{r} A(y) dy[/tex] ?