Implisitt derivasjon

[kajakn]

Trenger hjelpe med en oppgave... Har fasit på den, men skjønner ikke hvordan de har kommet fram til svaret, så hvis noen kan ta med alle mellomregninger slik at jeg kan skjønne litt mer, så hadde jeg blitt kjempeglad!!

Oppgaven:
Likningen x[sup]2[/sup]-2xy[sup]2[/sup]-2/3y[sup]3[/sup]+y-1=0 definerer en nivåkurve for f(x,y). Finn ved hjelp av implisitt derivasjon et uttrykk for helningen dy/dx langs denne kurven.

(Svaret er: dy/dx = (2y[sup]2[/sup]-2x)/(1-2y[sup]2[/sup]-4xy) )

[meCarnival]

Antar:
[tex]\frac{x^2+2xy^2-2}{3y^3+y-1}=0[/tex]

Vis hvor langt du har kommet/stopper opp hen så skal du nok få svar derfra...

[kajakn]

Nei, er ikke en brøk. Det er 2/3y, altså 0,67y. Vet ikke hvordan jeg skriver brøkstrek her...

Hmm.. hvor langt jeg har kommet.. Ikke veldig langt egentlig. Skjønner ikke så mye av implisitt derivasjon.

2x-................ skjønner egentlig ikke helt hvordan jeg skal gjøre resten

[meCarnival]

[tex]x^2-2xy^2-\frac{2}{3y}+y-1[/tex]

Implisitt derivasjon mht x.

Det vil si at du deriverer med hensyn på x, altså som vanlig derivasjon og bruker vanlige regler du er vant til. Men når man har y som er en annen variabel enn x så blir det indirekte derivasjon siden du deriverer y, men med hensyn på x.
Da må du legge til en dy/dx som den y deriverte.

x^2 = 2x

y =[tex] \frac{dy}{dx}[/tex]


Så din tur å derivere 2xy^2




Vink: Produktregel...

[kajakn]

2*y[sup]2[/sup]+2x*2y*y'

= 2y[sup]2[/sup]+4xyy' ????

[meCarnival]

Ser riktig ut det, bare at y' skrives som dy/dx... også har du en brøk og håndtere også... fins jo en regel for det også... =)

[kajakn]

I boka vår skriver de y' . Og så når de har derivert, setter de alle ledd med y' på en side, og så finner y'.

Ja, jeg får se om jeg får til brøken også. Kanskje det ikke er så vanskelig som jeg syntes det så ut.. Har eksamen i matte i morra, så er greit å få lært seg alt

[kajakn]

Jeg har nå prøvd å løse den. Jeg får de samme leddene som i fastiten, men ikke på riktig plass eller med riktig fortegn.... Har jeg gjort noe feil eller går det an å få det jeg har fått til å se ut slik som i fasiten?

Slik har jeg gjort:

2x-(2y[sup]2[/sup]+4xydy/dx)-2y[sup]2[/sup]dy/dx+1=0

2x-2y[sup]2[/sup]-4xydy/dx-2ydy/dx+1=0

4xydy/dx+2ydy/dx=2x-2y[sup]2[/sup]+1

dy/dx(4xy+2y[sup]2[/sup])=2x-2y[sup]2[/sup]+1

dy/dx=(2x-2y[sup]2[/sup]+1)/4xy+2y[sup]2[/sup])

I fasiten står det jo dy/dx=(2y[sup]2[/sup]+2x)/(1-2y[sup]2[/sup]-4xy)

[h]

I slike oppgaver kan paranteser være god hjelp til å holde styr på fortegn, du er på god vei!

[kajakn]

Hvor burde jeg hatt parentes? Hva har jeg gjort feil da?

[meCarnival]

2x-(2y^2+4xydy/dx)-2y^2dy/dx+1=0

2x-2y^2-4xydy/dx-2y^2dy/dx+1=0
- Her glemte du ^2

4xydy/dx+2ydy/dx=-2x-2y^2+1
- Her blir alle fortegnene på høyre side omvendt!
- Fortsatt glemt ^2 hvis det første leddet er riktig..

dy/dx(4xy+2y^2)=2x-2y^2+1
- Her har du fått tilbake ^2 selv.

dy/dx=(2x-2y^2+1)/4xy+2y^2)
- Denne er ikke helt lik svaret. Du har 1 oppe og mye av fortegnene er omvendt...

I fasiten står det jo dy/dx=(2y^2+2x)/(1-2y^2-4xy)


Regn en gang til og bruk parenteser og hold på dem enn å bytt fortegn hele tiden...