Spørsmål om direkte sum

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
edahl
Cantor
Cantor
Posts: 142
Joined: 23/12-2008 19:32

Hei!
Jeg lurer på dette med direkte sum av delvektorrom. De definisjonene jeg har lest har ikke gjort meg spesielt mye klokere. Så jeg trenger et par eksempler på direkte sum.

La f.eks. U, W være to delrom av V over et felt F. La U = {(a,a,0) for a i F^3}, og la W = {(0,b,b) for b i F^3). Hva er U+W?
[tex]U\oplus W=\{(a,a+b,a)| a \in F^3\}[/tex]?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

For at en sum av underrom skal være en direkte sum må den naturlige lineærtransformasjonen, si S, være injektiv:

[tex]S(v_1,v_2,...)=v_1+v_2+..[/tex]

der [tex]v_i\in H_i[/tex]. [tex]H_i[/tex] er underrom av et eller annet vektorrom.

Hvis [tex]v_1\neq 0[/tex] er element i flere underrom, f.eks. både [tex]H_1[/tex] og [tex]H_2[/tex], vil

[tex]S(v_1,0,0,..)=S(0,v_1,0,0..)[/tex] og den naturlige lin.transformasjonen er ikke lenger en-til-en, og summen er ikke lenger direktesum, så kravet er at snittet av alle underrommene i summen er kun 0-elementet (som må være med i ethvert underrom).

Det heter forresten vektorrom over en kropp, ikke felt.
Last edited by Gustav on 16/05-2009 15:54, edited 2 times in total.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Èn annen ting, [tex]a\in F[/tex] og ikke i [tex]F^3[/tex]. Jeg vet ikke om generaliseringen til vilkårlig kropp har noen hensikt i dette tilfellet, så man kan kanskje enklest si at [tex]U[/tex] og [tex]W[/tex] er underrom i vektorrommet [tex]\mathbb{R^3}[/tex] over [tex]\mathbb{R}[/tex]. Jeg ville kanskje skrevet

[tex]U=span(1,1,0)\\W=span(0,1,1)\\ \Rightarrow V=U\oplus W=span((1,1,0),(0,1,1))[/tex]

Pga. lineær uavhengighet vil ethvert element i V dekomponere unikt i [tex]U[/tex] og [tex]W[/tex], derfor er [tex]V[/tex] direktesummen av [tex]U[/tex] og [tex]W[/tex].

Poenget er med andre ord å dekomponere vektorrom i direktesummen av underrom, og da må underrommene tilfredsstille [tex]U\cap W=(0)[/tex].
edahl
Cantor
Cantor
Posts: 142
Joined: 23/12-2008 19:32

plutarco wrote:Èn annen ting, [tex]a\in F[/tex] og ikke i [tex]F^3[/tex]. Jeg vet ikke om generaliseringen til vilkårlig kropp har noen hensikt i dette tilfellet, så man kan kanskje enklest si at [tex]U[/tex] og [tex]W[/tex] er underrom i vektorrommet [tex]\mathbb{R^3}[/tex] over [tex]\mathbb{R}[/tex]. Jeg ville kanskje skrevet

[tex]U=span(1,1,0)\\W=span(0,1,1)\\ \Rightarrow V=U\oplus W=span((1,1,0),(0,1,1))[/tex]

Pga. lineær uavhengighet vil ethvert element i V dekomponere unikt i [tex]U[/tex] og [tex]W[/tex], derfor er [tex]V[/tex] direktesummen av [tex]U[/tex] og [tex]W[/tex].

Poenget er med andre ord å dekomponere vektorrom i direktesummen av underrom, og da må underrommene tilfredsstille [tex]U\cap W=(0)[/tex].
Takk for svaret :-) Nå skjønner jeg hva det dreier seg om.
Post Reply