Hei.
Holder på å jobbe med oppgaver relatert til skjæringssetningen, og har litt problemer med å løse følgende to oppgaver:
1. Vis at funksjonen F(x) = (x - a)^2*(x - b)^2 + x har verdien (a + b)/2 for en verdi x.
2. Anta at funksjonen f er kontinuerlig i det lukkede intervallet [0, 1] og at 0 er mindre enn eller lik f(x) som igjen er mindre enn eller lik 1 for hver verdi x i [0, 1]. Vis at det må eksistere et nummer c i [0, 1] slik at f(c) = c.
Setter stor pris på all hjelp!
Oppgaver - skjæringssetningen
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
1.
Uten tap av generalitet, anta [tex]a<b[/tex] (tilfellet [tex]a=b[/tex] er trivielt).
Definerer så en ny kontinuerlig funksjon [tex] G(x)=F(x)-\frac{a+b}{2}[/tex].
Da vil [tex]G(a)=\frac{a-b}{2}<0[/tex] og likeledes [tex]G(b)>0[/tex]. Av skjæringssetningen eksisterer en [tex]a\leq x\leq b[/tex] slik at [tex]G(x)=0[/tex], dermed er for denne verdien [tex]F(x)=\frac{a+b}{2}[/tex].
EDIT: skrevet beviset litt finere
Uten tap av generalitet, anta [tex]a<b[/tex] (tilfellet [tex]a=b[/tex] er trivielt).
Definerer så en ny kontinuerlig funksjon [tex] G(x)=F(x)-\frac{a+b}{2}[/tex].
Da vil [tex]G(a)=\frac{a-b}{2}<0[/tex] og likeledes [tex]G(b)>0[/tex]. Av skjæringssetningen eksisterer en [tex]a\leq x\leq b[/tex] slik at [tex]G(x)=0[/tex], dermed er for denne verdien [tex]F(x)=\frac{a+b}{2}[/tex].
EDIT: skrevet beviset litt finere
Last edited by Gustav on 10/08-2009 22:11, edited 2 times in total.
2.
Definerer den kontinuerlige funksjonen [tex] g(x)=x-f(x)[/tex]
Siden [tex]g(0)=-f(0)\leq 0[/tex] og[tex] g(1)=1-f(1)\geq 0[/tex], gir skjæringssetningen at det fins en [tex] 0\leq c\leq 1[/tex] slik at [tex]g(c)=0[/tex], noe som gir at [tex]f(c)=c[/tex].
QED.
Definerer den kontinuerlige funksjonen [tex] g(x)=x-f(x)[/tex]
Siden [tex]g(0)=-f(0)\leq 0[/tex] og[tex] g(1)=1-f(1)\geq 0[/tex], gir skjæringssetningen at det fins en [tex] 0\leq c\leq 1[/tex] slik at [tex]g(c)=0[/tex], noe som gir at [tex]f(c)=c[/tex].
QED.
Hei, og takk! Svar nummer 2 er jeg helt med på!
Jeg ser også resonnementet ditt i oppgave 1, men ser ikke helt hvordan du får G(a) = (a - b)/2. Plugger du da bare inn a i F(X) og trekker fra (a + b)/2? Det blir jo et ganske komplisert regnestykke. i så fall
Jeg ser også resonnementet ditt i oppgave 1, men ser ikke helt hvordan du får G(a) = (a - b)/2. Plugger du da bare inn a i F(X) og trekker fra (a + b)/2? Det blir jo et ganske komplisert regnestykke. i så fall
Å ja, selvsagt! Ugh, tenkte ikke på at det var to faktorer i f(x) funksjonen, noe som selvsagt gir 0 dersom en av faktorene er 0. Er trøtt nå, og hadde skrevet pluss-tegn mellom faktorene på papiret foran meg. Tror jeg tar kvelden nåplutarco wrote:F(a)=a. Enkelt regnestykke.
.Men takk for all hjelpen! Setter veldig pris på det!
Hei, bare lurte på om jeg kunne stille et lite spørsmål til. Tekstboken presenterer teorien relatert til skjæringssetningen utrolig overfladisk og dårlig og viser kun de aller enkleste eksemplene på oppgaver.
Jeg lurer på hvorfor du i oppgave 1 setter g(x) = f(x) - (a + b)/2 mens du i oppgave 2 setter g(x) = x - f(x). Hvordan vet du hvilken rekkefølge disse leddene skal stå i? Boken forklarer ikke i det hele tatt hvordan man kan definere en ny funksjon g(x) til å løse problemer.
Jeg lurer på hvorfor du i oppgave 1 setter g(x) = f(x) - (a + b)/2 mens du i oppgave 2 setter g(x) = x - f(x). Hvordan vet du hvilken rekkefølge disse leddene skal stå i? Boken forklarer ikke i det hele tatt hvordan man kan definere en ny funksjon g(x) til å løse problemer.
Jeg kunne godt byttet om rekkefølgen på g(x) ja. Man har valget mellom to måter. Ellers har jeg bare definert g slik at jeg kan bruke skjæringssetningen direkte.krje1980 wrote:Hei, bare lurte på om jeg kunne stille et lite spørsmål til. Tekstboken presenterer teorien relatert til skjæringssetningen utrolig overfladisk og dårlig og viser kun de aller enkleste eksemplene på oppgaver.
Jeg lurer på hvorfor du i oppgave 1 setter g(x) = f(x) - (a + b)/2 mens du i oppgave 2 setter g(x) = x - f(x). Hvordan vet du hvilken rekkefølge disse leddene skal stå i? Boken forklarer ikke i det hele tatt hvordan man kan definere en ny funksjon g(x) til å løse problemer.
PS: Kan kanskje understreke viktigheten av kontinuiteten til g i samme slengen; Vi har at f(x) er kontinuerlig og bruker at komposisjonen av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig. La så i oppgave 1 g(x)=h(f(x)) og h(x)=x-(a+b)/2. Siden både f og h er kontinuerlige, vil altså komposisjonen være kontinuerlig. I oppgave 2 kan vi bruke at summen/differansen av kontinuelige funksjoner er kontinuerlig.