Uniform kontinuitet

[bachmann]

Lurer på oppgave 2c på analyse1 mat2400 obligen.


2c) La h : [1,[symbol:uendelig] ) --> R være er en uniformt kontinuerlig funksjon med h(1) = 1. Vis at det fins K slik at |h(x)| < Kx for alle x €[1,[symbol:uendelig]).

Jeg har vist i oppgave b at den deriverte til en uniform kontinuerlig funksjon ikke nødvendigvis må være begrenset i et åpent intervall.

Har prøvd dette:

I C R, åpent intervall.
La x,y € I.
La x>y og c € (y,x).

Middelverdisetningen gir:
|h(x)-h(y)| = |x-y| h'(c)

Setter y = 1.
La h'(c) < K (dette blir jo feil?)

|h(x) - 1| < (x-1) K
|h(x) - 1| + 1 < xK - K +1
|h(x)| < xK

Skjønner ikke hvordan beviset over skal gjøres uten å begrense h'(c) eller må man bare anta det? Noen som vet?

[FredrikM]

Det er nok at h er uniformt kontinuerlig. Du trenger ikke tidligere oppgaver.

Hint: [tex]|h(x)|=|h(x)-h(x-\frac{1}{N})+h(x-\frac{1}{N})-h(x-\frac{2}{N})+h(x-\frac{2}{N})+...+h(1)|[/tex]

[bachmann]

Takker fikk det til nå