Differensiallikning i mekanisk energi [LØST]

[steffan]

Hei, har nesten forstått hvordan denne skal løses nå, men trenger at noen ser igjennom det og finner eventuelle feil osv.

Bevis at differensiallikningen til

$E=\frac{1}{2}k{x}^2+(\frac{1}{4}M+\frac{1}{2}m)v^2$

er gitt ved

$(M+2m)\ddot{x}+2kx=0$

når

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=0$

------- Løsning: -------

Deriverer venstre og høgere en gang.
$0=\frac{1}{2}k{x}^2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+(\frac{1}{4}M+\frac{1}{2}m)v^2\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$

$0=kx\dot{x}+(\frac{1}{2}M+m)v\dot{v}$

v = derivert x og v derivert = dobbel derivert x >>

$0=kx\dot{x}+(\frac{1}{2}M+m)\dot{x}\ddot{x}$

Deler alle sider med derivert x >>

$0=kx+(\frac{1}{2}M+m)\ddot{x}$

Ganger alle sider med 2 >>

$0=2kx+(M+2m)\ddot{x}$

Og jeg får fasiten:

$0=(M+2m)\ddot{x}+2kx$

Takk plutarco, nå forstod jeg det

[Gustav]

$E=\frac{1}{2}k{x}^2+(\frac{1}{4}M+\frac{1}{2}m)v^2$

er gitt ved

$(M+2m)\ddot{x}+2kx=0$

når

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=0$

Når man deriverer uttrykket for E mhp t får man:

$kx\dot{x}+(\frac{1}{4}M+\frac{1}{2}m)\ast 2v\dot{v}=0$.

Siden $v=\dot{x}$ og $\dot{v}=\ddot{x}$ kan vi dele bort v, og vi får at

$kx+(\frac{1}{4}M+\frac{1}{2}m)\ast 2\ddot{x}=0$

Så det er rett og slett selve derivasjonen din som ikke er helt rett utført.

[steffan]

$E=\frac{1}{2}k{x}^2+(\frac{1}{4}M+\frac{1}{2}m)v^2$

er gitt ved

$(M+2m)\ddot{x}+2kx=0$

når

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=0$

Når man deriverer uttrykket for E mhp t får man:

$kx\dot{x}+(\frac{1}{4}M+\frac{1}{2}m)\ast 2v\dot{v}=0$.

Siden $v=\dot{x}$ og $\dot{v}=\ddot{x}$ kan vi dele bort v, og vi får at

$kx+(\frac{1}{4}M+\frac{1}{2}m)\ast 2\ddot{x}=0$

Så det er rett og slett selve derivasjonen din som ikke er helt rett utført.

Åja, så dobbelderivert fart = derivert strekning, og derivert fart = strekning?

Takk skal du ha!

[Gustav]

Tidsderivert posisjon($\dot{x}$) = fart(v), og
Dobbelderivert posisjon($\ddot{x}$)=tidsderivert fart($\dot{v}$) = akselerasjon(a)