2. ordens homogen diffblabla

[Aleks855]

Oppgaven lyder:

For hvilke verdier av k er [tex]y(t) = e^{kx}[/tex] en løsning av y'' - 5y' + 6 = 0?

Jeg har kommet så langt som å gjøre det velkjente trikset og fikk:

[tex]y = c_1e^{2x} + c_2e^{3x}[/tex]

Hvis det er riktig hittil, kan noen hjelpe meg videre?

[Vektormannen]

Det ser ut som du her har snudd problemstillingen litt på hodet. Men det er ikke feil det altså. Er du enig i at hvert ledd for seg i løsningen din også vil løse ligningen? Hvis du bruker det så ser du at du jo faktisk har funnet de k-ene de spør etter.

Den metoden det kanskje er lagt opp til at man skal benytte her er å sette inn i differensialligningen. Vi er jo ute etter de k-verdiene som gjør at når vi setter inn funksjonen, dens deriverte og dens dobbeltderiverte i ligningen, så får vi 0.

[Aleks855]

Er hvert ledd for seg en løsning? Det har jeg ikke fått med meg. Hvis det er sant, så ser jeg at k'ene er funnet, men ser ikke helt hvordan man kan forsvare leddvis løsning på den måten.

[Vektormannen]

Hvis en funksjon [tex]y_1(x)[/tex] og en funksjon [tex]y_2(x)[/tex] løser ligningen så har vi at [tex](y_1 + y_2)^{\prime \prime} -5(y_1 + y_2)^\prime + 6(y_1+y_2) = (y_1^{\prime \prime} - 5y_1^\prime + 6y_1) + (y_2^{\prime \prime} - 5y_2^\prime + 6y_2) = 0 + 0 = 0[/tex], altså er også summen av de to en løsning.

Det er dette som er utnyttet for å komme frem til den generelle løsningen [tex]y = C_1e^{r_1 x} + C_2e^{r_2x}[/tex]. Man antar at [tex]y = Ce^{rx}[/tex] løser ligningen, og så setter man inn i liningen. Da får man at r må oppfylle den karakterisitkse ligningen. I det tilfellet der den karakteristiske ligningen har to løsninger så får man da to funksjoner [tex]y = C_1 e^{r_1x}[/tex] og [tex]y = C_2e^{r_2x}[/tex] som begge løser ligningen. Da vil også summen, som vist over løse ligningen, og denne summen blir da den helt generelle løsningen av ligningen.

Men som sagt trenger du ikke finne denne generelle løsningen for å gjøre akkurat denne oppgaven. De har jo allerede opplyst om at [tex]y(t) = e^{kt}[/tex] skal løse ligningen, så da er det enklest å sette inn i ligningen og finne k på den måten.

[Aleks855]

Ok, så med tanke på arbitrær konstant k så får man:

[tex]y(t) = e^{kx} \\ y^{\tiny{\prime}}(t) = ke^{kx} \\ y^{\tiny{\prime \prime}}(t) = k^2e^{kx}[/tex]

Hvis jeg setter dette inn i likningen, blir det da slik?

[tex]k^2e^{kx} - 5ke^{kx} + 6e^{kx} = 0[/tex]

Er det riktig å sette (i andre ledd) 5k? Eller kan 5 innebygges i k, siden k er vilkårlig?

Og hvordan går jeg frem videre?

[Vektormannen]

Nei, det blir riktig å sette det opp slik ja. Ser du at du nå har en felles faktor i alle ledd?

[Aleks855]

Ah, såklart! Brb mens jeg henger hodet i skam og regner litt!

[Aleks855]

Ok, med litt faktorisering og produktregel så fikk jeg indeed [tex]k \in \{2, 3\}[/tex]

Ser også at siden hvert ledd var en løsning av likningen, så var det allerede funnet ved den første gjennomføringen, selv om jeg ikke visste det.

Takker for hjelpen, V-man! Forsto det mye bedre nå!

[Vektormannen]

Hehe

Nå ser du kanskje også hvor denne generelle løsningsformelen (altså [tex]y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}[/tex]) kommer fra?

(Jeg ser forresten også at du skriver y(t) og så et uttrykk med x, men det er vel bare slurv :p)

[Aleks855]

Hehe, ja det er bare jeg som slurver. Jeg pleier som regel å starte slike oppgaver ved å si "t=x" bare for å være primadonna og forfengelig.