Eksamensset R2 V11, oppgave 3a)

[Arctagon]

http://www.udir.no/Upload/Eksamen/Vider ... R2_V11.pdf

Jeg kan lett løse oppgaven i GeoGebra, men jeg er interessert i å løse den ved regning.

En metode er jo å derivere uttrykket og sette f' lik 0. Dette gir
[tex]\frac{(3-2x)e^{-\frac{x}{3}}}{3\sqrt{x}} = 0[/tex]

Her er jeg usikker på om jeg får lov til å gange med [tex]3\sqrt{x}[/tex] og dele med [tex]e^{-\frac{x}{3}}[/tex] på begge sider, og løse det videre derfra. Jeg får da at [tex]x = \frac{3}{2}[/tex], som er riktig x, men kan jeg ikke generelt sett miste løsninger ved å gjøre dette? Jeg kunne for så vidt fyrt opp GeoGebra og bekreftet med den at det er riktig x.

Er det noen andre måter å løse denne oppgaven på? I løsningsforslaget til Nebu, har han funnet toppunktets y-verdi til å være [tex]\sqrt{\frac{6}{e}}[/tex], men jeg aner ikke hvordan han kom fram til det.

[Nebuchadnezzar]

Du er interessert i når uttrykket ditt her null ikke sant?
Dette kan bare skje når teller er null, og nevner er ulik null.
Når [tex]x = 3/2[/tex] er teller ulik null, og derfor er dette en gyldig løsning.

Toppunktet vil da være [tex]( \frac{3}{2} \, , \, f\left( \frac{3}{2}\right) )[/tex]

Og følgelig så er diameteren til skaftet [tex]d \,=\, 2r \,=\, 2 f\left( \frac{3}{2}\right) \,= \, \cdots[/tex]

[Arctagon]

Nå er det ikke så lett å se at x må være [tex]\frac{3}{2}[/tex] i teller bare ved å se på uttrykket.

[Nebuchadnezzar]

Jo?

Legg merke til at [tex]e^{ax + b} \, > \, 0[/tex] for alle [tex]x[/tex], hvor [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er reelle tall.

Og på grunn av minustegnet, står det egentlig

[tex]\frac{2x - 3}{e^{x/3} \cdot \sqrt{x}} = 0 [/tex]

Og som sagt er vi bare interessert i der teller er null, og nevner er ulik null.

Og nei, du mister ingen løsninger. Falske løsninger oppstår når du øker

graden til likningen din (etc kvadrerer). Og du mister løsninger når du senker graden til likningen din, etc derivasjon, dele på x osv.

[Vektormannen]

Her er jeg usikker på om jeg får lov til å gange med [tex]3\sqrt{x}[/tex] og dele med [tex]e^{-\frac{x}{3}}[/tex] på begge sider, og løse det videre derfra. Jeg får da at [tex]x = \frac{3}{2}[/tex], som er riktig x, men kan jeg ikke generelt sett miste løsninger ved å gjøre dette?

Hvis du sjekker om det uttrykket du deler ligningen på ikke er / kan bli 0, kan du dele på det uten å miste noen løsninger.

Uansett trenger du bare å benytte deg av det som kalles produktsetningen. En av faktorene på venstre side må være 0. e-faktoren kan som Nebu sier ikke være det. Da gjenstår 3 - 2x som gir x = 3/2.

[Arctagon]

Legg merke til at [tex]e^{ax + b} \, > \, 0[/tex] for alle [tex]x[/tex], hvor [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er reelle tall.

En av faktorene på venstre side må være 0. e-faktoren kan som Nebu sier ikke være det. Da gjenstår 3 - 2x som gir x = 3/2.

Selvfølgelig. Som vanlig er jeg litt for rask med å trekke konklusjoner.

Og nei, du mister ingen løsninger. Falske løsninger oppstår når du øker

graden til likningen din (etc kvadrerer). Og du mister løsninger når du senker graden til likningen din, etc derivasjon, dele på x osv.

Hvis du sjekker om det uttrykket du deler ligningen på ikke er / kan bli 0, kan du dele på det uten å miste noen løsninger.

Den er grei. Takker for hjelpen!