Integrasjon

[Urosmooth]

Jeg skal $\int$ $cos(x)*e^{(-ax)} dx$ Hvordan gjør jeg dette? Jeg har brukt metoden $\int$ $f(x)*g'(x)=f(x)*g(x)-\int f'(x)*g(x) dx$

Siste leddet jeg kommer frem til er at $ \int cos(x)*e^{(-ax)}=e^{(-ax)}(sin(x)-a*cos(x))- \int a^2cosx*e^{(-ax)}$

Har jeg brukt feil metode? Må vel bli kvitt $a^2$ på en eller annen måte. Kunne delt $a^2$ på alle ledd, men da blir jeg ikke kvitt $\int$ $cos(x)*e^{(-ax)} dx$ på høyre siden tror jeg. Føler at jeg er "so near på yeat so far away"

Takk for hjelp

[TTT]

Du har gjort feil i første omgang: $\int$ $f(x)*g'(x)=f(x)*g(x)-\int f'(x)*g(x) dx$

Du må integrere $g'(x)$ til $g(x)$ først. $f(x)*g(x)$ blir da $ - \frac {cos(x)e^{-ax}}{a}$ , ikke $e^{(-ax)}(sin(x)-a*cos(x))$

EDIT: Tror ikke jeg helt henger med her. Hvor langt har du egentlig kommet?

[Urosmooth]

Du har gjort feil i første omgang: $\int$ $f(x)*g'(x)=f(x)*g(x)-\int f'(x)*g(x) dx$

Du må integrere $g'(x)$ til $g(x)$ først. $f(x)*g(x)$ blir da $ - \frac {cos(x)e^{-ax}}{a}$ , ikke $e^{(-ax)}(sin(x)-a*cos(x))$

EDIT: Tror ikke jeg helt henger med her. Hvor langt har du egentlig kommet?

Tror du misforstod mitt spørsmål TTT, har gjort en rekke ledd før jeg kom fra til det siste leddet,men jeg så det nå. Setter bare $I$ inn for $cos(x)*e^{(-ax)} dx$ da blir det $I=e^{(-ax)}(sin(x)-a*cos(x))- a^2I$ Tar +$a^2I$ på begge sider for at $(a^2+1)I=e^{(-ax)}(sin(x)-a*cos(x))$

[TTT]

Ja, jeg innså det etter jeg hadde postet ^^

[Urosmooth]

Nå som jeg har klart å integrere shitten trenger jeg hjelp til å finne a når integralet har en maksimumsverdi.Har ikke peiling på hvordan man løser den egentlig. Oppgaven er som følger:

Screen Shot 2013-10-14 at 20.45.20.png (11.41 KiB) Viewed 1905 times

[jhoe06]

Hint: $ \int_0^\infty f(x) dx = \lim_{N \to \infty} \int_0^N f(x) dx $

[Urosmooth]

Hint: $ \int_0^\infty f(x) dx = \lim_{N \to \infty} \int_0^N f(x) dx $

Ehhh, fortsatt helt blank $cos \infty$ er jo ikke definert, er helt på bærtur her tror jeg.

[jhoe06]

Sant, men hva kan du si om $ \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{e^{ax}} $? Denne grenseverdien eksisterer for $ a > 0 $.

EDIT: For å si litt mer: evaluer integralet som om det var endelig og se på grenseverdien når $ N \to \infty $.

[Urosmooth]

Sant, men hva kan du si om $ \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{e^{ax}} $? Denne grenseverdien eksisterer for $ a > 0 $.

EDIT: For å si litt mer: evaluer integralet som om det var endelig og se på grenseverdien når $ N \to \infty $.

Skjønte ikke helt hva du mente der, men tror jeg fikk det til. Satt inn $0$ og uendelig for integralet jeg hadde funnet, fikk ut uttrykket $\frac{a}{a^2+1}$ deriverte dette og satt lik null fikk at $a=1$ er dette riktig?

[jhoe06]

Hvis integralet du postet tidligere er korrekt, ser det riktig ut for meg.