Vekstrate

[Guest]

Hallais!

Jeg trenger hjelp med å tolke hva jeg skal gjøre i denne oppgaven:

Et radioaktivt stoff har en nedbrytningsrate som er proporsjonal til mengden av stoffet. Hvis 10 % av et slikt stoff nedbrytes på 5 år, hva er halveringstiden til stoffet?

Når det står nedbrytningsrate, så tenker jeg at dette er en annet begrep for veksten? Altså, en form for negativ vekst?
Jeg tolker ihvertfall det som står videre at vi kan skrive det som: [tex]y'=-k\cdot y[/tex] der [tex]y>0[/tex]

Og, hvis vi har satt mengden av stoffet lik y, så tenker jeg at det siste kan gi oss noe slikt?

[tex]y(5)=0.90\cdot y(t)[/tex]

Jeg er sikkert på jordet, men jeg prøvde ihvertfall

[Guest]

Nei da dette var et bra forsøk og du er ikke på jordet i det hele tatt. differensialligningen blir som du sier [tex]y' = -ky[/tex], men spørsmålet tror jeg du bommer litt på. Du skal finne ut hvor mange år (målt i t) det tar før 50% av stoffet (y) er igjen når du vet at 10% forsvinner etter 5 år. For å finne ut dette må du løse differensialligningen og sette[tex]y = y_0/2[/tex]. [tex]c_1[/tex](konstanten før eksponentialfunksjonen) antar jeg at du finner hvis du setter at y(0) = 1 (altså 100%) og k finner du ved informasjonen 10% etter 5 år slik du forsøkte deg på (men bruk løsningen av differensialligningen og sett y(5) = 0.9)

[Guest]

Jeg må si at jeg skjønte en del, men så falt jeg helt av pga. all informasjonen som man faktisk får ut av oppgaven.
Jeg forstår ikke helt hvordan [tex]y(5)=0.9[/tex] når [tex]y(0)=1[/tex].
Men jeg prøvde meg bare, og endte opp med:

[tex]y'=-k\cdot y[/tex]

[tex]y'=-k\cdot \frac{y_{0}}{2}[/tex]

[tex]y'=-k\cdot \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\int y'=-\frac{1}{2}\int k[/tex]

[tex]y=-\frac{1}{2}kx[/tex]

Jeg prøvde også å løse y' separabelt før jeg brukte at y = y0/2

[Guest]

Jeg må si at jeg skjønte en del, men så falt jeg helt av pga. all informasjonen som man faktisk får ut av oppgaven.
Jeg forstår ikke helt hvordan [tex]y(5)=0.9[/tex] når [tex]y(0)=1[/tex].
Men jeg prøvde meg bare, og endte opp med:

[tex]y'=-k\cdot y[/tex]

[tex]y'=-k\cdot \frac{y_{0}}{2}[/tex]

[tex]y'=-k\cdot \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\int y'=-\frac{1}{2}\int k[/tex]

[tex]y=-\frac{1}{2}kx[/tex]

Jeg prøvde også å løse y' separabelt før jeg brukte at y = y0/2

Skjønte du ikke hvorfor vi har disse initialbetingelsene eller skjønte du ikke hvordan man regner ut svaret? y(0)=1 er jo fordi y(t) er hvor mye stoff som er igjen etter t år. Når det har gått 0 tid så må vi jo også ha 100% igjen av det vi startet med som er 1. På samme måte står det at etter 5 år så er det forsvunnet 10%. Dette betyr jo at vi må ha igjen 90% av det vi startet med derfor er y(5)=0.9

Nå kan det være en stund siden du har løst diff. ligninger, men dette er ikke måten man gjør det på. y er ikke konstant lik halvparten av startverdien så det blir litt feil. Hvis du samler leddene på en side og ganger med integrerende faktor får du at [tex]y=c_1 \cdot e^{-kt}[/tex].
Det er her du skal bruke initialbetingelsene til å bestemme [tex]k[/tex] og [tex]c_1[/tex].
Hvis du nå setter [tex]y(0) = y_0 = 1 = c_1 \cdot e^{-k \cdot 0}[/tex] finner du [tex]c_1 = 1[/tex],

og setter du så [tex]y(5) = 0.9 = e^{-k\cdot 5}[/tex] finner du [tex]k=-\dfrac{ln(0,9)}{5}[/tex].
Nå har du ligningen din [tex]y=e^{\dfrac{ln(0,9)}{5}t}[/tex]. Du skal finne ut hvor lang tid det tar før 50% av stoffet er igjen (finne t) og den jobben overlater jeg til deg.

[Janhaa]

Uten differensiallikning:

[tex]0,9=(1/2)^{5/T_{0,5}}[/tex]

[Guest]

Uten differensiallikning:

[tex]0,9=(1/2)^{5/T_{0,5}}[/tex]

Ja det var lurt!
Du har ikke lyst til å fortelle meg hvordan du tenkte for å finne fram til den?

[ThomasSkas]

Uten differensiallikning:

[tex]0,9=(1/2)^{5/T_{0,5}}[/tex]

Ja det var lurt!
Du har ikke lyst til å fortelle meg hvordan du tenkte for å finne fram til den?

Kan det stemme at Janhaa her klinket til med formelen [tex]N(t)=N_{0}\cdot (\frac{1}{2})^{t/T_{1/2}}[/tex] ?

[Guest]

Uten differensiallikning:

[tex]0,9=(1/2)^{5/T_{0,5}}[/tex]

Ja det var lurt!
Du har ikke lyst til å fortelle meg hvordan du tenkte for å finne fram til den?

Kan det stemme at Janhaa her klinket til med formelen [tex]N(t)=N_{0}\cdot (\frac{1}{2})^{t/T_{1/2}}[/tex] ?

Kan stemme det ja, men hvor har du den fra? Hva heter den, eller hva må jeg google for å finne utledningen? Funker formelen kun for proporsjonal vekst eller også for annen type vekst? Funker formelen kun for vekstproblem eller linære homogene diff.ligninger? Jeg synes den var snedig ettersom den ser ut til å spare deg for mye kjipt arbeid, men da jeg forsøkte å google poppet det bare opp [tex]N(t) = N_0 e^{-kt}[/tex] som var formelen for "exponential decay". Jeg mener ikke å være vanskelig altså ble bare veldig nysgjerrig.