Jeg vet hva det vil si at et intervall er åpent, lukket eller halvåpent, men hva betyr det at det er begrenset?
Som kontekst, så er det snakk om ekstremalverdi setningen som sier at en kontinuerlig funksjon definert på et lukket, begrenset intervall, alltid er begrenset.
At funksjonen er begrenset tolker jeg som at $f(x)$ ikke går mot $\pm \infty$ på intervallet, men at selve intervallet må være lukket OG begrenset skjønner jeg ikke.
Dersom intervallet som $f(x)$ er definert på er lukket, så kan vel aldri $x\to \pm \infty$ uansett?
Hvordan er "begrenset" definert når et intervall omtales?
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hei!
Et lukket intervall defineres som et intervall som inneholder alle dets grensepunkter. Etter den definisjonen er for eksempel [tex]\left [ a, \infty \right )[/tex] et lukket intervall.
La da [tex]f(x) = x[/tex] være funksjonen. Den er kontinuerlig, men ikke begrenset i det lukkede intervallet.
Det altså ikke nok at intervallet er lukket. Det må også være begrenset.
Et lukket intervall defineres som et intervall som inneholder alle dets grensepunkter. Etter den definisjonen er for eksempel [tex]\left [ a, \infty \right )[/tex] et lukket intervall.
La da [tex]f(x) = x[/tex] være funksjonen. Den er kontinuerlig, men ikke begrenset i det lukkede intervallet.
Det altså ikke nok at intervallet er lukket. Det må også være begrenset.
Tror misforståelsen kommer av uklarhet i definisjoner, så her følger de som trengs:
1. Et intervall i $\mathbb{R}$ er en delmengde $U\subset \mathbb{R}$ slik at for hvert par av punkter $x,y\in U$ (der $x\leq y$), og for alle $x\leq z\leq y$, så er $z\in U$.
2. En delmengde $U \subseteq \mathbb{R}$ er åpen dersom det for alle punkter $x\in U$ fins et positivt, reelt tall $r$ slik at $\{y\in\mathbb{R}:|y-x|<r\}\subset U$.
3. En delmengde $V \subseteq \mathbb{R}$ er lukket dersom komplementet $\mathbb{R}\setminus V$ er åpent.
4. En delmengde $W$ kalles begrenset dersom det fins et positivt reelt tall M, slik at $|x|<M$ for alle $x\in W$. Hvis det ikke fins en slik $M$, er delmengden ubegrenset.
Da er det klart at $U:=[a,+\infty)=\{x\in \mathbb{R}: a\leq x\}$ er et ubegrenset, lukket intervall. Det fins åpenbart ingen slik $M$ fra def.4 (Bevis: Anta at det fins en M. Velg $y:=M+1\in U$, men da er $|y|>M$.), og komplementet av $U$ er åpent.(Bevis: La $x\in \mathbb{R}\setminus U$. Velg $r=|\frac{x-a}{2}|$)
1. Et intervall i $\mathbb{R}$ er en delmengde $U\subset \mathbb{R}$ slik at for hvert par av punkter $x,y\in U$ (der $x\leq y$), og for alle $x\leq z\leq y$, så er $z\in U$.
2. En delmengde $U \subseteq \mathbb{R}$ er åpen dersom det for alle punkter $x\in U$ fins et positivt, reelt tall $r$ slik at $\{y\in\mathbb{R}:|y-x|<r\}\subset U$.
3. En delmengde $V \subseteq \mathbb{R}$ er lukket dersom komplementet $\mathbb{R}\setminus V$ er åpent.
4. En delmengde $W$ kalles begrenset dersom det fins et positivt reelt tall M, slik at $|x|<M$ for alle $x\in W$. Hvis det ikke fins en slik $M$, er delmengden ubegrenset.
Da er det klart at $U:=[a,+\infty)=\{x\in \mathbb{R}: a\leq x\}$ er et ubegrenset, lukket intervall. Det fins åpenbart ingen slik $M$ fra def.4 (Bevis: Anta at det fins en M. Velg $y:=M+1\in U$, men da er $|y|>M$.), og komplementet av $U$ er åpent.(Bevis: La $x\in \mathbb{R}\setminus U$. Velg $r=|\frac{x-a}{2}|$)