1T 2013 høst LØSNING

Oppgave 1:

$7,5\cdot {10}^{12}\cdot 4,0\cdot {10}^{-4}=30\cdot {10}^{12+(-4)}=30\cdot {10}^8=3,0\cdot {10}^9$

a)

	Blå bukser	Svarte bukser	Total
Bukser som passer	$3$	$3$	$6$
Bukser som ikke passer	$1$	$3$	$4$
Total	$4$	$6$	$10$

b)

P (buksa passer) =$\frac{6}{10}$ = 60%

Det er 60% sjanse for at buksa passer.

c)

P ( blå bukse, gitt at den passer) = $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=$ 50%

Det er 50% sjanse for at buksa er blå, når vi vet at hun har trukket en bukse som passer.

Oppgave 3:

$\frac{2x^2-18}{x^2+6x+9}=\frac{2(x+3)(x-3)}{(x+3)(x+3)}=\frac{2(x-3)}{x+3}$

Oppgave 4:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{2}\cdot 2^0\cdot 2^{-1}}{8^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{-2}}=\frac{2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{-1}}{2^{\frac{3}{2}}\cdot 2^{-2}}= \\ {2}^{\frac{1}{2}-1-\frac{3}{2}+2}=2^0=1 \end{gathered}$$

Oppgave 5:

$$\begin{gathered} 2\lg x-8=5\lg x+1 \\ -3\lg x=9 \\ \lg x=-3 \\ x={10}^{-3}=0,001 \end{gathered}$$

Oppgave 6:

Rett linje: y = ax + b

stigningstall: $a=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{5-2}{3-1}=\frac{3}{2}$

Bruker dette sammen med første punkt og får:

$$\begin{gathered} y=ax+b \\ 2=\frac{3}{2}\cdot 1+b \\ b=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Dvs:

$y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$

Oppgave 7:

$$\begin{gathered} -x+y=2 \\ -2x^2+y^2=4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} y=2+x \\ -2x^2+(2+x{)}^2=4 \end{gathered}$$

Finner x fra den nederste ligningen:

$$\begin{gathered} 4x-x^2=0 \\ x(4-x)=0 \\ x=0\vee x=4 \end{gathered}$$

Setter inn i -x+ y = 2 for å finne tilhørende y verdier.

Finner da at x = 0 gir y = 2 og x = 4 gir y = 6, så svarene er ( 0, 2) og (4, 6).

Oppgave 8:

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^3-3x^2{D}_f=\text{R} \\ f´(x)=3x^2-6x \\ f´(x)=0 \\ x(3x-6)=0 \\ x=0\vee x=2 \end{gathered}$$

Setter 0 og 2 inn i funksjonsuttrykket for å finne ekstremalpunkt:

$f(0)=2\wedge f(2)=-4$

Vi har ekstremalpunktene ( 0, 0 ) og ( 2, -4 ).

f ´ ( -1) er positiv.

f ´( 1) er negativ og

f ´( 3) = er positiv. Det betyr at (0, 0) er et maksimumspunkt og ( 2, -4) er et minimumspunkt.

b)

Faktoriserer f(x):

$f(x)=x^3-3x^2=x^2(x-3)$

Setter f(x) = 0 og får:

$$\begin{gathered} f(x)=0 \\ {x}^2(x-3)=0 \\ x=0\vee x=3 \end{gathered}$$

Nullpunkter er (0, 0) og (3, 0).

c)

Oppgave 9:

Cosinus til en vinkel i en rettvinklet trekant er definert som hosliggende katet delt på hypotenusen. $cosC=\frac{3}{7}$

Oppgave 10:

Bruker først Pytagoras på den rettvinklede trekanten til høyre, for å finne det ukjente katetet.

Lengden av hypotenusen i den rettvinklede trekanten til venstre er $\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$ . omkretsen blir derved 10 + 5 + 6 + $\sqrt{17}=21+\sqrt{17}$ .

Oppgave 1

a)

b)

Fiskebestanden var minst sommeren 2008, da var den i overkant av 51 tonn.

c)

$$\begin{gathered} f(x)=3x^3-48x^2+162x+300 \\ f´(x)=9x^2-96x+162 \end{gathered}$$

Finner minimumspunktet ved å sette den deriverte lik null.

$$\begin{gathered} f´(x)=9x^2-96x+162 \\ f´(x)=0 \\ 9x^2-96x+162=0 \\ x=\frac{96\pm \sqrt{{96}^2-4\cdot 9\cdot 162}}{18} \\ x=2,1\vee x=8,5 \end{gathered}$$

Nå vet vi fra oppgave a og b at 2,1 er et maksimum og 8,5 et minimum. Dersom man liker å regne ser man at den deriverte er negativ før 8,6 , og positiv etter 8,6. Det betyr at 8,6 er et minimumspunkt.

d)

$$\begin{gathered} f(x)=3x^3-48x^2+162x+300 \\ f(5)=3\cdot 5^3-48\cdot 5^2+162\cdot 5+300=285 \\ f´(x)=9x^2-96x+162 \\ f´(5)=9\cdot 25-96\cdot 5+162=-93 \end{gathered}$$

f(5) forteller oss at bestanden i 2005 var på 285 tonn. den deriverte forteller oss at nedgangen per år, slik den sees i 2005, er på 93 tonn.

Oppgave 2

a)

$$\begin{gathered} f(x)=20000\cdot 0,{92}^x \\ f(1)=20000\cdot 0,{92}^1=18400 \\ f(10)=20000\cdot 0,{92}^{10}=8687,8 \end{gathered}$$

Etter ett døgn er det 18400 liter igjen, og etter ti døgn er det 8687,8 liter igjen i dammen.

b)

$$\begin{gathered} f(x)=5000 \\ 20000\cdot 0,{92}^x \\ 0,{92}^x=\frac{1}{4} \\ x\cdot lg0,92=lg0,25 \\ x=16,6 \end{gathered}$$

Det vil ta ça. 16,6 døgn før det er 5000 liter igjen i dammen.

Oppgave 3

Sannsynligheten p for at en syklist sykler uten lys er 0,2.

$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$

a)

Ingen sykkler uten lys:

$$\begin{gathered} P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k\cdot (1-p{)}^{n-k} \\ P(X=0)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{0})0,2^0\cdot 0,8^{10}=0,107 \end{gathered}$$

Minst en sykler uten lys i mørket er da 1 - 0,107 = 0,893 = 89,3%.

b)

Sannsynligheten for at nr, 1, nr. 4 og nr. 10 sykler uten lys. Her er bare en kombinasjon mulig:

$P(\text{1,4 og 10 uten lys})=0,2^3\cdot 0,8^7=0,00167\approx 0,2\mathrm{\%}$

c)

Tre av ti kjører uten lys:

$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3})0,2^3\cdot 0,8^7=0,2013$

Det er ca 20% sannsynlig at tre syklister sykler uten lys.

Oppgave 4

Hver av dem har så mange mynter:

Pål = x

Espen = 2x

Per = 6x

til sammen har de 198 mynter.

6x + 2x + x = 198

9x = 198

x = 22

Pål har 22 mynter, Espen har 44 mynter og Per har 132 mynter.

Oppgave 5

Trekantene kan se slik ut;

AB er 8,0cm. Både AC og AD er 5,0 cm. Begge trekantene er $17,5c{m}^2$ (bommet med en hundredel på den ene :-)).

I dagens dataverden der matematikk får stadig mindre rom i skolen er vel oppgaven å betrakte som løst. Men, dersom man ønsker en mere analytisk tilnærming kan man gjøre slik:

$$\begin{gathered} T=\frac{1}{2}bc\sin A \\ \Downarrow \\ \sin A=\frac{2T}{bc} \\ \sin A=\frac{2\cdot 17,5}{8\cdot 5} \\ A={61}^{\circ }\vee A={180}^{\circ }-{61}^{\circ }={119}^{\circ } \end{gathered}$$

Vinkelen mellom den 8,0 cm lange siden og den 5,0cm lange siden er 61 grader eller 119 grader.

Oppgave 6

a))

Areal av trekanten ABE: $T_{ABE}=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot BE\cdot \sin {30}^{\circ }=9,0m^2$

b)

Skal finne lengden av CE. Her er det bare å bruke cosinussettningen rett fram, alle størrelser er kjente:

$$\begin{gathered} (CE{)}^2=(ED{)}^2+(CD{)}^2-2\cdot ED\cdot CD\cos 85,3^{\circ } \\ =9m^2+81m^2-2\cdot 3m\cdot 9m\cdot 0,0819 \\ =90m^2-4,42m^2 \\ CE=9,3m \end{gathered}$$

c)

Lengden av BC kan man finne ved å bruke sinussettningen, men vi må først finne vinkel ECB, for så å finne vinkel BEC som er motstående vinkel til siden BC.

$$\begin{gathered} \frac{\sin ECB}{6,0}=\frac{\sin 83,3^{\circ }}{9,3} \\ \sin ECB=0,64 \\ \mathrm{\angle }ECB=39,8^{\circ } \end{gathered}$$

Da er vinkel BEC : 180 - 39,8- 83,3 = 56,9 grader.

Finner så siden BC:

$$\begin{gathered} \frac{\sin 56,9^{\circ }}{BC}=\frac{\sin 83,3^{\circ }}{9,3} \\ BC=7,8 \end{gathered}$$

BC er 7,8 meter lang.

Oppgave 7

a)

Bruker Pytagoras og finner at y = $\sqrt{5}$, dvs. høyden av kjeglen er h = 3 + y = 3 + $\sqrt{5}\approx$ 5,24

b)

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4\cdot 5,24\approx 21,9$

c)

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot x^2\cdot (3+y)=\frac{1}{3}\pi \cdot x^2\cdot (3+\sqrt{3^2-x^2})=\frac{1}{3}\pi \cdot x^2\cdot (3+\sqrt{9-x^2})$

d)

Man observerer at kjeglen har sitt største volum på 33,5 kubikk lengdeenheter. Da er radius 2,83 lengdeenheter. kjeglens flate er i den nedre halvkulen. Høyden er $h=3+\sqrt{9-x^2}=3+\sqrt{9-2,{83}^2}=4$. Høyden er 4 lengdeenheter.