Innhold

Lineære funksjoner

Det at en funksjon er lineær betyr at om vi tegner grafen i et koordinat system med X verdier på førsteaksen og Y verdier på andreaksen får vi en rett linje. Det generelle funksjonsuttrykket er:

$Y = aX + b$

a kalles for stigningstallet og b for konstantleddet. Dersom x er null er Y lik b. Konstantleddet b forteller hvor grafen krysser y-aksen. a forteller hvor mange enheter man beveger seg i y rettning (opp eller ned), når man beveger seg en enhet til høyre på x aksen.

Dersom a er positiv betyr det at grafen stiger mot høyre, med økende x verdi. Desto høyere a verdi, desto brattere stiger grafen.

Dersom a er negativ betyr det at Y avtar mot høyre, eller med økende X verdi.

Tallet b forteller hvor grafen krysser Y aksen. Når grafen krysser Y aksen er X verdien lik null.


EKSEMPEL:
Vi har funksjonsuttrykket: $Y = \frac12X + 2$
Grafen ser slik ut:
Linje.PNG
Man observerer at grafen går gjennom punktet (0,2) på y aksen. Stigningstallet er $\frac12$ . Det betyr at når man beveger seg en enhet til høyre må man bevege seg 0,5 (en halv) oppover i y rettning for å treffe grafen igjen.


Lek med rette linjer


Test deg selv


Dersom man har kontroll på stigningstall og konstantledd er det greit å tegne grafen med bare disse to størrelsene. Dersom man synes dette er vannskelig er det lurt å lage en verditabell.

Verditabell

Vi velger selv tilfeldige X verdier. Det er gjerne lurt å velge verdier som ligger nærheten av origo.

Når vi har valgt en X verdi setter vi den inn for X i funksjonstrykket (1). Da får vi en Y verdi som hører til X verdien.

Disse resultatene setter vi inn i en tabell. Ut i fra disse verdiene tegner vi grafen. I vårt eksempel kan verditabellen se slik ut:

Verditabell er en samling av punkter på grafen, altså sammhørende verdier av x og f(x). Formålet med å lage en verditabell er at du har nok punkter til å kunne tegn eller skissere grafen.

Det anbefales at du lærer deg å bruke kalkulatoren når du skal lage verditabeller.

Av og til er det imidlertid nødvendig å kunne lage tabellen manuelt. Det gjøres ved at du selv velger et antall x verdier i det området du skal tegne grafen. Du setter inn x verdiene i funksjonsuttrykket og finner sammhørende funksjonsverdier. Hvor mange verdier du velger kommer an på hvor nøyaktig du ønsker det. Flere verdier gir økt nøyaktighet.


Eksempel:

Vi ønsker å tegne grafen til f(x) = 2x -3 i området fra x = -2 til x = 2.

Vi velger x lik -2, -1, 0, 1, 2 og får:
x
f(x)= 2x - 3 f(x) (x, f(x))
-2 f(-2) = 2 (-2) - 3 f(-2)= -7 (-2, -7)
-1 f(-1) = 2 (-1) – 3 f(-1) = -5 (-1,-5)
0 f(0) = 2 (0) – 3 f(0)= -3 (0, -3)
1 f(1) = 2 (1)– 3 f(1)= - 1 (1, -1)
2 f(2) = 2 (2) – 3 f(2) = 1 (2, 1)




Og grafen ser slik ut:

Linje2.PNG

Ettpunktsformelen

Dersom du kjenner et punkt på linjen og stigningstallet kan du finne funksjonsutrykket ved å bruke følgende formel:

$y-y_1 = a(x-x_1)$

a er stigningstallet og $(x_1 , y_1)$ er koordinatene til punktet.


Hva er funksjonsuttrykket til en funksjon som har stigningstall 2 og går gjennom punktet (-2, -1)?

$y-(-1) = 2(x-(-2))$

$y = 2x + 3$



Test deg selv

Topunktsformelen

Dersom man kjenner to punkter på en rett linje er stigningstallet a gitt som:

$a =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Desom man setter dette uttrykket inn i etpunktsformelen over får man:

$y- y_1=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x-x_1)$


$EKSEMPEL$







Tilbake til Ungdomstrinn Hovedside

Tilbake til hovedside